При каких значениях a оба корня уравнения x² + ax + 2 = 0 находятся в интервале (1;3)?

Математика 11 класс Неравенства и свойства корней квадратного уравнения корни уравнения значения a уравнение x² + ax + 2 = 0 интервал (1;3) математика 11 класс Новый

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения находились в интервале (1; 3), нам нужно проанализировать условия, при которых это возможно. Уравнение имеет вид:

x² + ax + 2 = 0

Сначала найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = a
• c = 2

Подставим значения в формулу:

x = (-a ± √(a² - 8)) / 2

Теперь, чтобы оба корня находились в интервале (1; 3), необходимо, чтобы:

1. Оба корня были больше 1.
2. Оба корня были меньше 3.

Начнем с первого условия: оба корня должны быть больше 1.

Для этого запишем неравенство:

(-a + √(a² - 8)) / 2 > 1

Умножим обе стороны на 2 (поскольку 2 положительное, знак неравенства не изменится):

-a + √(a² - 8) > 2

Переносим -a в правую часть:

√(a² - 8) > a + 2

Теперь возведем обе стороны в квадрат (помним, что при этом необходимо учитывать, что обе стороны неотрицательны):

a² - 8 > (a + 2)²

Раскроем скобки:

a² - 8 > a² + 4a + 4

Упрощаем:

-8 > 4a + 4

Переносим 4 в левую часть:

-12 > 4a

Делим обе стороны на 4:

-3 > a

Теперь рассмотрим второе условие: оба корня должны быть меньше 3.

Запишем неравенство:

(-a + √(a² - 8)) / 2 < 3

Умножим обе стороны на 2:

-a + √(a² - 8) < 6

Переносим -a в правую часть:

√(a² - 8) < a + 6

Возводим в квадрат:

a² - 8 < (a + 6)²

Раскроем скобки:

a² - 8 < a² + 12a + 36

Упрощаем:

-8 < 12a + 36

Переносим 36 в левую часть:

-44 < 12a

Делим обе стороны на 12:

-11/3 < a

Теперь у нас есть два условия:

• a < -3
• a > -11/3

Таким образом, оба условия выполняются, если:

-11/3 < a < -3

Это и есть искомый интервал для значения a, при котором оба корня уравнения x² + ax + 2 = 0 находятся в интервале (1; 3).