При каких значениях a уравнение ax^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0 имеет лишь целые корни?

Математика 11 класс Уравнения с целыми корнями уравнение ax^2 целые корни значения a математика 11 класса Новый

Чтобы выяснить, при каких значениях a уравнение ax^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0 имеет лишь целые корни, необходимо следовать нескольким шагам.

1. Определим целые корни уравнения. Если у уравнения есть целые корни, то его дискриминант должен быть полным квадратом. Дискриминант D для квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 вычисляется по формуле:

• D = B^2 - 4AC

В нашем случае:

• A = a
• B = 3
• C = 2a^2 - 3

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

• D = 3^2 - 4 * a * (2a^2 - 3) = 9 - 8a^3 + 12a

2. Упростим дискриминант:

• D = -8a^3 + 12a + 9

3. Найдем условия для целых корней. Дискриминант D должен быть не только неотрицательным, но и полным квадратом. Мы можем рассмотреть D как функцию от a и найти такие значения a, при которых D является квадратом целого числа.

4. Рассмотрим конкретные значения a: Для упрощения задачи, рассмотрим несколько целых значений a:

• Если a = 1: D = -8(1)^3 + 12(1) + 9 = 13 (не является полным квадратом)
• Если a = 2: D = -8(2)^3 + 12(2) + 9 = -41 (отрицательный, значит корней нет)
• Если a = -1: D = -8(-1)^3 + 12(-1) + 9 = 5 (не является полным квадратом)
• Если a = 0: D = 9 (является полным квадратом, корни x = 0)

5. Проверим другие значения: Продолжая проверять значения a, можно заметить, что:

• a = 3: D = -8(3)^3 + 12(3) + 9 = -189 (отрицательный)
• a = -2: D = -8(-2)^3 + 12(-2) + 9 = 41 (не является полным квадратом)

6. Подводим итог: Основываясь на проверенных значениях, можно сделать вывод, что:

• Для a = 0 уравнение имеет целый корень (x = 0).
• Для других целых значений a, дискриминант не является полным квадратом или отрицателен.

Таким образом, уравнение ax^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0 имеет лишь целые корни при a = 0.