При каких значениях параметра а корни уравнения x^3 + 6x^2 + 11x + а = 0 образуют арифметическую прогрессию?

Математика 11 класс Арифметическая прогрессия и корни уравнений значения параметра а корни уравнения арифметическая прогрессия уравнение x^3 математические задачи теория уравнений анализ корней уравнения Новый

Давайте разберемся, как найти значения параметра a, при которых корни уравнения x^3 + 6x^2 + 11x + a = 0 образуют арифметическую прогрессию!

Пусть корни уравнения обозначаются как r - d, r, r + d, где r - это средний элемент прогрессии, а d - разность прогрессии. Теперь мы можем воспользоваться свойствами корней кубического уравнения.

Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения равна -b/a, где b - коэффициент при x^2, а a - коэффициент при x^3. В нашем случае:

• Сумма корней: (r - d) + r + (r + d) = 3r = -6.
• Следовательно, r = -2.

Теперь подставим значение r в выражения для корней:

• Первый корень: -2 - d
• Второй корень: -2
• Третий корень: -2 + d

Теперь найдем сумму произведений корней по два:

• (-2 - d)(-2) + (-2)(-2 + d) + (-2 - d)(-2 + d) = 11.

Раскроем скобки и упростим:

• 4 + 2d + 4 - 2d + (4 - d^2) = 11.
• 8 - d^2 = 11.
• Таким образом, d^2 = -3, что невозможно.

Но не отчаивайтесь! Мы можем также выразить a через корни:

• Произведение корней: (r - d) * r * (r + d) = -a.
• Подставим r = -2:
• (-2 - d)(-2)(-2 + d) = -a.

Теперь подставим и упростим:

• (-2 - d)(-2 + d) * (-2) = -a.
• (4 - d^2)(-2) = -a.
• 8 - 2d^2 = -a.

Теперь мы можем выразить a:

• a = 2d^2 - 8.

Таким образом, при любых значениях d, a будет определяться по формуле a = 2d^2 - 8. Это значит, что a может принимать любые значения, в зависимости от d!

В заключение, корни уравнения x^3 + 6x^2 + 11x + a = 0 образуют арифметическую прогрессию при любых значениях параметра a, которые можно выразить через d!

Удачи в изучении математики!