При каких значениях параметра m один корень уравнения 2x^2-(2m+1)x+m^2 -9m+39=0 в два раза больше другого? Найдите эти корни.

Математика 11 класс Параметрические уравнения и корни квадратного уравнения параметр m корни уравнения один корень в два раза больше математические уравнения решение уравнения квадратное уравнение условия для корней Новый

Чтобы решить уравнение 2x^2 - (2m + 1)x + (m^2 - 9m + 39) = 0 и найти значения параметра m, при которых один корень в два раза больше другого, начнем с обозначения корней уравнения.

Пусть корни уравнения обозначим как x1 и x2. По условию задачи, один корень в два раза больше другого, т.е. x1 = 2x2. Мы можем обозначить x2 как x, тогда x1 = 2x.

Теперь мы можем выразить сумму и произведение корней через коэффициенты уравнения:

• Сумма корней: x1 + x2 = 2x + x = 3x.
• Произведение корней: x1 * x2 = 2x * x = 2x^2.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: x1 + x2 = -B/A.
• Произведение корней: x1 * x2 = C/A.

В нашем случае:

• A = 2, B = -(2m + 1), C = m^2 - 9m + 39.

Теперь подставим значения суммы и произведения корней в формулы Виета:

• Сумма: 3x = (2m + 1)/2.
• Произведение: 2x^2 = (m^2 - 9m + 39)/2.

Теперь выразим x из первого уравнения:

1. 3x = (2m + 1)/2.
2. x = (2m + 1)/6.

Теперь подставим x во второе уравнение:

1. 2x^2 = (m^2 - 9m + 39)/2.
2. 2 * ((2m + 1)/6)^2 = (m^2 - 9m + 39)/2.

Упростим левую часть:

1. 2 * ((2m + 1)^2 / 36) = (m^2 - 9m + 39)/2.
2. ((2m + 1)^2) / 18 = (m^2 - 9m + 39)/2.

Теперь умножим обе стороны на 36 для устранения дробей:

1. (2m + 1)^2 = 18(m^2 - 9m + 39).

Раскроем скобки:

1. 4m^2 + 4m + 1 = 18m^2 - 162m + 702.

Переносим все в одну сторону:

1. 4m^2 + 4m + 1 - 18m^2 + 162m - 702 = 0.
2. -14m^2 + 166m - 701 = 0.

Умножим на -1 для удобства:

1. 14m^2 - 166m + 701 = 0.

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• m = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a, где a = 14, b = -166, c = 701.

Сначала найдем дискриминант:

1. D = (-166)^2 - 4 * 14 * 701.
2. D = 27556 - 39256 = -11700.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, что означает, что при любых значениях параметра m не существует таких m, при которых один корень уравнения в два раза больше другого.

Таким образом, ответ: нет значений параметра m, при которых один корень уравнения в два раза больше другого.