При каком, выраженном через a и b, значении m выражение x(x+a)(x+2b)(x+a+2b)+m^2 станет полным квадратом?

Математика 11 класс Полные квадраты и их свойства значение m выражение x(x+a)(x+2b) полный квадрат математика 11 класс квадратное выражение Новый

Чтобы выяснить, при каком значении m выражение x(x+a)(x+2b)(x+a+2b)+m^2 станет полным квадратом, начнем с анализа самого выражения.

Мы имеем многочлен, который нужно привести к квадрату. Полный квадрат имеет вид (P(x))^2, где P(x) - некоторый многочлен. Чтобы наше выражение стало полным квадратом, необходимо, чтобы x(x+a)(x+2b)(x+a+2b) было равно k^2 - m^2, где k - некоторый многочлен.

Для начала упростим выражение x(x+a)(x+2b)(x+a+2b). Раскроем скобки:

1. Сначала перемножим (x+a)(x+2b):
• (x+a)(x+2b) = x^2 + 2bx + ax + 2ab = x^2 + (a + 2b)x + 2ab.
2. Теперь перемножим результат с x(x+a+2b):
• x(x^2 + (a + 2b)x + 2ab) = x^3 + (a + 2b)x^2 + 2abx.

Таким образом, мы имеем:

x(x+a)(x+2b)(x+a+2b) = x^4 + (a + 2b)x^3 + 2abx^2.

Теперь мы можем записать полное выражение:

x^4 + (a + 2b)x^3 + 2abx^2 + m^2.

Чтобы это выражение стало полным квадратом, необходимо, чтобы его старший коэффициент, при x^4, был равен квадрату некоторого многочлена. Это означает, что мы можем записать:

(x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 + q^2.

Сравнивая коэффициенты, мы получаем:

• 2p = (a + 2b)
• p^2 + 2q = 2ab
• q^2 = m^2

Теперь выразим p и q через a и b:

• Из первого уравнения: p = (a + 2b)/2.
• Подставляем p во второе уравнение:
• p^2 = ((a + 2b)/2)^2 = (a^2 + 4ab + 4b^2)/4.
• 2q = 2ab - p^2 = 2ab - (a^2 + 4ab + 4b^2)/4 = (8ab - a^2 - 4ab - 4b^2)/4 = (4ab - a^2 - 4b^2)/4.
• Следовательно, q = (4ab - a^2 - 4b^2)/8.

Теперь подставим q в третье уравнение:

q^2 = m^2.

Таким образом, мы находим:

m = ±(4ab - a^2 - 4b^2)/8.

Таким образом, значение m, при котором выражение x(x+a)(x+2b)(x+a+2b)+m^2 станет полным квадратом, выражается как:

m = ±(4ab - a^2 - 4b^2)/8.