При каком значении параметра а вектор q(-1;0;а) станет собственным вектором линейного оператора А, который задан матрицей А=(4 4 -6; 3 2 -3; 3 4 -5)? Какое собственное значение оператора А будет соответствовать этому вектору?

Математика 11 класс Собственные векторы и собственные значения матриц собственный вектор линейный оператор матрица А значение параметра а собственное значение вектор q математика 11 класс Новый

Чтобы определить, при каком значении параметра а вектор q(-1; 0; а) станет собственным вектором линейного оператора A, нужно решить уравнение:

A * q = λ * q,

где λ - собственное значение, соответствующее собственному вектору q.

Сначала подставим вектор q в уравнение:

q = (-1; 0; a).

Теперь вычислим произведение A * q:

1. Сначала запишем матрицу A:
• A = [4 4 -6]
  [3 2 -3]
  [3 4 -5]
2. Теперь умножим матрицу A на вектор q:
• A * q = [4 * (-1) + 4 * 0 + (-6) * a]
  [3 * (-1) + 2 * 0 + (-3) * a]
  [3 * (-1) + 4 * 0 + (-5) * a]
• Упрощаем каждое выражение:
• 1-й компонент: -4 - 6a
• 2-й компонент: -3 - 3a
• 3-й компонент: -3 - 5a

Теперь у нас есть:

A * q = (-4 - 6a; -3 - 3a; -3 - 5a).

Следующий шаг - выразить λ * q:

λ * q = λ * (-1; 0; a) = (-λ; 0; λa).

Теперь мы приравняем соответствующие компоненты векторов:

1. -4 - 6a = -λ
2. -3 - 3a = 0
3. -3 - 5a = λa

Решим второе уравнение для a:

-3 - 3a = 0 ⟹ a = -1.

Теперь подставим a = -1 в первое уравнение:

-4 - 6*(-1) = -λ ⟹ -4 + 6 = -λ ⟹ 2 = -λ ⟹ λ = -2.

Теперь проверим третье уравнение с найденным значением a:

-3 - 5*(-1) = λ*(-1) ⟹ -3 + 5 = -λ ⟹ 2 = -λ ⟹ λ = -2.

Таким образом, мы нашли, что:

При a = -1 вектор q становится собственным вектором, а соответствующее собственное значение λ равно -2.