Рассмотрим функцию f(x), которая определена следующим образом:

• f(x) = 0, если x < -1;
• f(x) = 1, если -1 ≤ x < 0;
• f(x) = 2, если 0 ≤ x < 1;
• f(x) = 3, если x ≥ 1.

Таким образом, функция f(x) имеет следующие значения:

• На интервале (-∞, -1) функция равна 0;
• На интервале [-1, 0) функция равна 1;
• На интервале [0, 1) функция равна 2;
• На интервале [1, +∞) функция равна 3.

Теперь определим точки непрерывности. В данной функции мы можем выделить три точки:

• x = -1;
• x = 0;
• x = 1.

Теперь докажем, что функция непрерывна в этих точках:

1. Точка x = -1:
   • Предел функции при подходе к -1 слева: lim (x → -1-) f(x) = 0.
   • Предел функции при подходе к -1 справа: lim (x → -1+) f(x) = 1.
   • Значение функции в точке: f(-1) = 1.
   • Поскольку пределы не совпадают, функция разрывна в точке x = -1.
2. Точка x = 0:
   • Предел функции при подходе к 0 слева: lim (x → 0-) f(x) = 1.
   • Предел функции при подходе к 0 справа: lim (x → 0+) f(x) = 2.
   • Значение функции в точке: f(0) = 2.
   • Поскольку пределы не совпадают, функция разрывна в точке x = 0.
3. Точка x = 1:
   • Предел функции при подходе к 1 слева: lim (x → 1-) f(x) = 2.
   • Предел функции при подходе к 1 справа: lim (x → 1+) f(x) = 3.
   • Значение функции в точке: f(1) = 3.
   • Поскольку пределы не совпадают, функция разрывна в точке x = 1.

Таким образом, функция f(x) разрывна в точках x = -1, x = 0 и x = 1, и имеет ровно три точки разрыва. В остальных точках (x < -1 и x > 1) функция является непрерывной, так как не происходит изменения её значения.

Итак, мы показали, что функция имеет ровно три точки разрыва и является непрерывной в остальных точках.