2025-12-05 06:52:50
Приведите пример, который демонстрирует, что утверждение f⁻¹(B₁) ⊆ f⁻¹(B₂) ⇒ B₁ ⊆ B₂ не всегда верно?
Математика 11 класс Теория функций и обратные функции примеры функции обратная функция множество подмножество математические утверждения контрпример свойства функций теория множеств Новый
2025-12-05 06:53:03
Рассмотрим функцию f: X → Y и два подмножества B₁ и B₂ из множества Y. Утверждение, которое мы хотим проверить, звучит так: если f⁻¹(B₁) ⊆ f⁻¹(B₂), то это не обязательно означает, что B₁ ⊆ B₂.
Для демонстрации этого утверждения, давайте рассмотрим конкретный пример:
- Пусть X = {1, 2}.
- Пусть Y = {a, b}.
- Определим функцию f следующим образом:
- f(1) = a
- f(2) = a
- Теперь определим подмножества B₁ и B₂:
- B₁ = {a}
- B₂ = {a, b}
Теперь найдем прообразы B₁ и B₂:
- f⁻¹(B₁): Это множество всех x из X, для которых f(x) принадлежит B₁. Поскольку f(1) = a и f(2) = a, то f⁻¹(B₁) = {1, 2}.
- f⁻¹(B₂): Это множество всех x из X, для которых f(x) принадлежит B₂. Поскольку f(1) = a и f(2) = a, то f⁻¹(B₂) = {1, 2}.
Теперь мы можем проверить, выполняется ли условие f⁻¹(B₁) ⊆ f⁻¹(B₂):
- f⁻¹(B₁) = {1, 2} ⊆ {1, 2} = f⁻¹(B₂), что верно.
Однако, давайте проверим, выполняется ли B₁ ⊆ B₂:
- B₁ = {a} не является подмножеством B₂ = {a, b}, так как в B₂ есть элемент b, который отсутствует в B₁.
Таким образом, мы видим, что:
- f⁻¹(B₁) ⊆ f⁻¹(B₂) верно,
- но B₁ ⊆ B₂ не выполняется.
Этот пример показывает, что утверждение f⁻¹(B₁) ⊆ f⁻¹(B₂) ⇒ B₁ ⊆ B₂ не всегда верно.