Давайте проведем полное исследование заданных функций и построим их графики. Начнем с первой функции:

Шаг 1: Определение области определения.

Функция y = (x³/3) - x² является многочленом, и многочлены определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения:

• Область определения: x ∈ R.

Шаг 2: Нахождение производной.

Для нахождения экстремумов функции найдем первую производную:

• y' = (d/dx)(x³/3) - (d/dx)(x²) = x² - 2x.

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю:

• x² - 2x = 0
• x(x - 2) = 0

Таким образом, критические точки:

• x = 0
• x = 2

Шаг 4: Определение знаков производной.

Исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): y' > 0 (функция возрастает).
• Интервал (0, 2): y' < 0 (функция убывает).
• Интервал (2, +∞): y' > 0 (функция возрастает).

Шаг 5: Нахождение значений функции в критических точках.

• y(0) = (0³/3) - (0²) = 0.
• y(2) = (2³/3) - (2²) = (8/3) - 4 = -4/3.

Шаг 6: Исследование пределов.

• lim (x → -∞) y = -∞.
• lim (x → +∞) y = +∞.

Шаг 7: Построение графика.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Функция имеет минимум в точке (2, -4/3).
• Функция убывает на интервале (0, 2) и возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).

Теперь перейдем ко второй функции:

Шаг 1: Определение области определения.

Эта функция имеет знаменатель, поэтому нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю:

• x + 1 ≠ 0 → x ≠ -1.

Таким образом, область определения:

• Область определения: x ∈ R, x ≠ -1.

Шаг 2: Нахождение производной.

Для нахождения экстремумов найдем первую производную с помощью правила деления:

• y' = [(2(x - 1)(x + 1)³ - (x - 1)²(3(x + 1)²)] / (x + 1)⁶.

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Критические точки находятся, когда числитель производной равен нулю:

• 2(x - 1)(x + 1)³ - 3(x - 1)²(x + 1)² = 0.

Решим это уравнение, выделив общий множитель (x - 1):

• (x - 1)[2(x + 1)³ - 3(x - 1)(x + 1)²] = 0.

Таким образом, одна критическая точка:

• x = 1.

Шаг 4: Определение знаков производной.

Исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, -1): y' < 0 (функция убывает).
• Интервал (-1, 1): y' > 0 (функция возрастает).
• Интервал (1, +∞): y' < 0 (функция убывает).

Шаг 5: Нахождение значений функции в критической точке.

• y(1) = (1 - 1)²/(1 + 1)³ = 0.

Шаг 6: Исследование пределов.

• lim (x → -1) y = +∞ (функция имеет вертикальную асимптоту).
• lim (x → -∞) y = 0.
• lim (x → +∞) y = 0.

Шаг 7: Построение графика.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Функция имеет вертикальную асимптоту при x = -1.
• Функция достигает максимума в точке (1, 0) и убывает на интервалах (1, +∞).

Теперь вы можете построить графики обеих функций, основываясь на полученных данных о критических точках, знаках производной и пределах. Удачи!