Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и докажем их шаг за шагом.

Начнем с левой части равенства: f(A₁ ∪ A₂). Это означает, что мы берем все элементы, которые отображаются из объединения множеств A₁ и A₂. То есть, для любого элемента x из A₁ ∪ A₂, мы имеем:

• Если x принадлежит A₁, то f(x) принадлежит f(A₁).
• Если x принадлежит A₂, то f(x) принадлежит f(A₂).

Таким образом, любой элемент f(x) из f(A₁ ∪ A₂) будет либо в f(A₁), либо в f(A₂), что означает, что:

f(A₁ ∪ A₂) ⊆ f(A₁) ∪ f(A₂).

Теперь рассмотрим правую часть: f(A₁) ∪ f(A₂). Это означает, что любой элемент y из f(A₁) ∪ f(A₂) будет либо в f(A₁), либо в f(A₂). Это означает, что существует элемент x из A₁ или A₂, такой что f(x) = y. Следовательно, y принадлежит f(A₁ ∪ A₂). Таким образом, мы имеем:

f(A₁) ∪ f(A₂) ⊆ f(A₁ ∪ A₂).

Объединив оба результата, мы получаем:

f(A₁ ∪ A₂) = f(A₁) ∪ f(A₂).

Теперь перейдем ко второму утверждению. Рассмотрим левую часть: f(A₁ ∩ A₂). Это означает, что мы берем все элементы, которые отображаются из пересечения множеств A₁ и A₂. То есть, для любого элемента x из A₁ ∩ A₂, мы имеем:

• x принадлежит A₁ и x принадлежит A₂.

Следовательно, f(x) будет принадлежать f(A₁) и f(A₂). Это означает, что:

f(x) принадлежит f(A₁) ∩ f(A₂).

Таким образом, любой элемент f(x) из f(A₁ ∩ A₂) будет также принадлежать f(A₁) ∩ f(A₂), что дает нам:

f(A₁ ∩ A₂) ⊆ f(A₁) ∩ f(A₂).

В результате, мы доказали оба утверждения:

• f(A₁ ∪ A₂) = f(A₁) ∪ f(A₂);
• f(A₁ ∩ A₂) ⊆ f(A₁) ∩ f(A₂).