2025-12-02 07:45:54
Пусть f: X → Y — произвольное отображение, B, B₁, B₂ — произвольные подмножества множества Y. Как можно доказать следующие равенства:
8.379 f⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂);
8.380 f⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂);
Математика 11 класс Отображения и их свойства отображение подмножества равенства множество математика инверсное отображение доказательства объединение пересечение функции
2025-12-02 07:46:25
Для доказательства данных равенств мы будем использовать определения обратного изображения и свойства множеств. Давайте рассмотрим каждое равенство по отдельности.
Доказательство равенства 8.379: f⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂)1. Начнем с левой части равенства: f⁻¹(B₁ ∪ B₂). Это означает, что мы берем все элементы x из множества X, такие что f(x) принадлежит объединению B₁ и B₂.
2. Формально это можно записать так: x ∈ f⁻¹(B₁ ∪ B₂) тогда и только тогда, когда f(x) ∈ B₁ ∪ B₂.
3. По определению объединения, f(x) ∈ B₁ ∪ B₂ означает, что f(x) ∈ B₁ или f(x) ∈ B₂.
4. Это значит, что x принадлежит f⁻¹(B₁) или x принадлежит f⁻¹(B₂). То есть x ∈ f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂).
5. Таким образом, мы доказали, что f⁻¹(B₁ ∪ B₂) ⊆ f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂).
6. Теперь рассмотрим правую часть: f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂). Если x ∈ f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂), то x ∈ f⁻¹(B₁) или x ∈ f⁻¹(B₂).
7. Это значит, что f(x) ∈ B₁ или f(x) ∈ B₂, что в свою очередь означает, что f(x) ∈ B₁ ∪ B₂.
8. Таким образом, x ∈ f⁻¹(B₁ ∪ B₂), что дает нам обратное включение: f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂) ⊆ f⁻¹(B₁ ∪ B₂).
9. Мы показали оба включения, следовательно, равенство f⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂ верно.
Доказательство равенства 8.380: f⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂)1. Рассмотрим левую часть равенства: f⁻¹(B₁ ∩ B₂). Это означает, что мы ищем все элементы x из множества X, такие что f(x) принадлежит пересечению B₁ и B₂.
2. Формально: x ∈ f⁻¹(B₁ ∩ B₂) тогда и только тогда, когда f(x) ∈ B₁ ∩ B₂.
3. По определению пересечения, f(x) ∈ B₁ ∩ B₂ означает, что f(x) ∈ B₁ и f(x) ∈ B₂.
4. Это значит, что x принадлежит f⁻¹(B₁) и x принадлежит f⁻¹(B₂). То есть x ∈ f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂).
5. Таким образом, мы имеем, что f⁻¹(B₁ ∩ B₂) ⊆ f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂).
6. Теперь рассмотрим правую часть: f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂). Если x ∈ f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂), то x ∈ f⁻¹(B₁) и x ∈ f⁻¹(B₂).
7. Это означает, что f(x) ∈ B₁ и f(x) ∈ B₂, что в свою очередь означает, что f(x) ∈ B₁ ∩ B₂.
8. Таким образом, x ∈ f⁻¹(B₁ ∩ B₂), что дает нам обратное включение: f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂) ⊆ f⁻¹(B₁ ∩ B₂).
9. Мы доказали оба включения, следовательно, равенство f⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂) верно.
В итоге, мы доказали оба равенства, используя свойства объединения и пересечения множеств, а также определение обратного изображения.