Разность арифметической прогрессии составляет 2/3, а знаменатель геометрической прогрессии равен 2/3. Четвертый член арифметической прогрессии и второй член геометрической прогрессии равны 9.

1. Как найти первые члены обеих прогрессий?
2. Как вычислить шестой член и сумму шести первых членов арифметической прогрессии?
3. Как вычислить сумму третьего и шестого членов геометрической прогрессии?

Математика 11 класс Прогрессии (арифметическая и геометрическая) арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия разность прогрессий члены прогрессий сумма членов прогрессий вычисление членов прогрессий математика 11 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как a и разность как d. Из условия задачи мы знаем, что:

• d = 2/3
• Четвертый член арифметической прогрессии равен 9.

Четвертый член арифметической прогрессии можно выразить через первый член и разность:

Четвертый член = a + 3d.

Подставим известные значения:

a + 3 * (2/3) = 9.

Упрощаем это уравнение:

a + 2 = 9.

Следовательно, a = 9 - 2 = 7.

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 7.

Шаг 2: Определим параметры геометрической прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как b и знаменатель как q. Из условия задачи мы знаем, что:

• q = 2/3
• Второй член геометрической прогрессии равен 9.

Второй член геометрической прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель:

Второй член = b * q.

Подставим известные значения:

b * (2/3) = 9.

Умножим обе стороны на 3/2:

b = 9 * (3/2) = 27/2.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 27/2.

Шаг 3: Вычислим шестой член и сумму шести первых членов арифметической прогрессии.

Шестой член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Шестой член = a + 5d.

Подставим известные значения:

Шестой член = 7 + 5 * (2/3) = 7 + 10/3 = 21/3 + 10/3 = 31/3.

Теперь вычислим сумму шести первых членов арифметической прогрессии, используя формулу:

Сумма = (n/2) * (2a + (n - 1)d), где n = 6.

Сумма = (6/2) * (2 * 7 + (6 - 1) * (2/3)) = 3 * (14 + 10/3) = 3 * (42/3 + 10/3) = 3 * (52/3) = 52.

Шаг 4: Вычислим сумму третьего и шестого членов геометрической прогрессии.

Третий член геометрической прогрессии можно выразить как:

Третий член = b * q^2.

Подставим известные значения:

Третий член = (27/2) * (2/3)^2 = (27/2) * (4/9) = 54/18 = 3.

Теперь мы уже нашли шестой член геометрической прогрессии:

Шестой член = b * q^5 = (27/2) * (2/3)^5 = (27/2) * (32/243) = 864/486 = 32/18 = 16/9.

Теперь найдем сумму третьего и шестого членов геометрической прогрессии:

Сумма = Третий член + Шестой член = 3 + 16/9 = 27/9 + 16/9 = 43/9.

Итак, мы получили следующие результаты:

• Первый член арифметической прогрессии: 7.
• Первый член геометрической прогрессии: 27/2.
• Шестой член арифметической прогрессии: 31/3.
• Сумма шести первых членов арифметической прогрессии: 52.
• Сумма третьего и шестого членов геометрической прогрессии: 43/9.