2024-07-23 10:21:49
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка методом понижения порядка. y′′ + [tex]\frac{2}X}[/tex]y′ = 0; yy′′-(y′)^2 = 0.
Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальное уравнение понижение порядка общее решение.
2024-07-30 10:26:01
Для решения дифференциального уравнения вида $y'' + \frac{2}{x} y' = 0$ методом понижения порядка, необходимо выполнить следующие шаги:
Проинтегрировать уравнение один раз, чтобы получить уравнение первого порядка.
Решить полученное уравнение первого порядка и найти общее решение исходного уравнения второго порядка.
Выполним эти шаги для данного уравнения:
$y'' + \frac{2}{x}y' = 0$.
Проинтегрируем уравнение один раз:
$\int (y'' + \frac{2}{x}y') dx = \int 0 dx$,
получим:
$(y')^2 = C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная.
Теперь решим полученное уравнение первого порядка:
$y' = \pm \sqrt{C_1}$,
проинтегрировав ещё раз, получим:
$y = \frac{1}{2} \ln |x| + C_2$, где $C_2$ — также произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение уравнения $y'' + \frac{2}{x}y'=0$ имеет вид:
$y(x) = \frac{1}{2}\ln |x| + C_2$.
Для решения уравнения $yy'' - (y')^2=0$ также можно использовать метод понижения порядка. Однако в этом случае уравнение не может быть решено аналитически, и для нахождения общего решения необходимо использовать численные методы или специальные функции.
