Чтобы решить неравенство (4x - 3)³ (1 + 4/x)(x - 3)⁴ ≤ 0 методом интервалов, давайте сначала определим, где каждая из частей выражения равна нулю или неопределена.

• Рассмотрим первую часть: (4x - 3)³. Она равна нулю, когда 4x - 3 = 0. Решим это уравнение:
• 4x = 3
• x = 3/4
• Теперь рассмотрим вторую часть: (1 + 4/x). Эта часть выражения неопределена, когда x = 0. В этом случае значение выражения не существует.
• Третья часть: (x - 3)⁴. Она равна нулю, когда x - 3 = 0. Решим это уравнение:
• x = 3

Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 0, x = 3/4 и x = 3.

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные критические точки:

• (-∞, 0)
• (0, 3/4)
• (3/4, 3)
• (3, +∞)

Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в выражение (4x - 3)³ (1 + 4/x)(x - 3)⁴, чтобы определить знак:

• Для интервала (-∞, 0): выберем x = -1.
• (4*(-1) - 3)³ = (-7)³ < 0
• (1 + 4/(-1)) = (1 - 4) < 0
• ((-1) - 3)⁴ = (-4)⁴ > 0
• Знак: (-) * (-) * (+) = +
• Для интервала (0, 3/4): выберем x = 0.5.
• (4*(0.5) - 3)³ = (-1)³ < 0
• (1 + 4/0.5) = (1 + 8) > 0
• ((0.5) - 3)⁴ = (-2.5)⁴ > 0
• Знак: (-) * (+) * (+) = -
• Для интервала (3/4, 3): выберем x = 2.
• (4*2 - 3)³ = (5)³ > 0
• (1 + 4/2) = (1 + 2) > 0
• ((2) - 3)⁴ = (-1)⁴ > 0
• Знак: (+) * (+) * (+) = +
• Для интервала (3, +∞): выберем x = 4.
• (4*4 - 3)³ = (13)³ > 0
• (1 + 4/4) = (1 + 1) > 0
• ((4) - 3)⁴ = (1)⁴ > 0
• Знак: (+) * (+) * (+) = +

Теперь подытожим полученные знаки для каждого интервала:

• (-∞, 0): +
• (0, 3/4): -
• (3/4, 3): +
• (3, +∞): +

Мы ищем области, где выражение (4x - 3)³ (1 + 4/x)(x - 3)⁴ ≤ 0. Это происходит на интервале (0, 3/4) и в точках, где выражение равно нулю:

• Точка x = 3/4 (нулевое значение)
• Точка x = 3 (нулевое значение)

Таким образом, решением неравенства является:

x ∈ [3/4, 3].