Реши уравнения, используя логарифмы:

1. 2 в степени (x + 2) = 7
2. логарифм по основанию 1/2 от (2x - 1) минус логарифм по основанию 1/4 от 16 минус 5

Математика 11 класс Логарифмы и экспоненциальные уравнения уравнения с логарифмами решение логарифмических уравнений математика 11 класс Новый

Решим каждое из уравнений по отдельности, используя логарифмы.

Первое уравнение: 2 в степени (x + 2) = 7

1. Для начала, применим логарифм по основанию 2 к обеим сторонам уравнения:
2. log2(2^(x + 2)) = log2(7)
3. Согласно свойству логарифмов, logb(b^a) = a, поэтому получаем:
4. x + 2 = log2(7)
5. Теперь выразим x:
6. x = log2(7) - 2

Это и есть решение первого уравнения. Для нахождения численного значения можно использовать калькулятор:

x ≈ 2.807 - 2 = 0.807

Второе уравнение: логарифм по основанию 1/2 от (2x - 1) минус логарифм по основанию 1/4 от 16 минус 5

1. Прежде всего, упростим логарифмы:
2. логарифм по основанию 1/4 от 16 можно выразить как:
3. log(16) / log(1/4) = log(2^4) / log(1/2^2) = 4 / (-2) = -2.
4. Таким образом, у нас получается:
5. логарифм по основанию 1/2 от (2x - 1) - (-2) - 5 = 0
6. Упростим это уравнение:
7. логарифм по основанию 1/2 от (2x - 1) + 2 - 5 = 0
8. логарифм по основанию 1/2 от (2x - 1) - 3 = 0
9. Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
10. логарифм по основанию 1/2 от (2x - 1) = 3
11. Теперь применим свойство логарифмов:
12. (2x - 1) = (1/2)^3
13. (2x - 1) = 1/8
14. Теперь решим это уравнение:
15. 2x = 1/8 + 1
16. 2x = 1/8 + 8/8 = 9/8
17. x = (9/8) / 2 = 9/16

Таким образом, мы нашли решения для обоих уравнений:

1. x = log2(7) - 2 (примерно 0.807)

2. x = 9/16