Чтобы решить неравенство √(6x + 7) > 8 - x, мы сначала определим область допустимых значений и затем преобразуем неравенство.

Шаг 1: Определение области допустимых значений.

Корень из выражения 6x + 7 должен быть определён, то есть 6x + 7 ≥ 0. Решим это неравенство:

• 6x + 7 ≥ 0
• 6x ≥ -7
• x ≥ -7/6

Таким образом, область допустимых значений: x ≥ -7/6.

Шаг 2: Преобразование неравенства.

Теперь мы можем работать с основным неравенством:

√(6x + 7) > 8 - x.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части неравенства в квадрат. Однако, при этом нужно помнить, что если мы возводим в квадрат, то неравенство может измениться, если обе части отрицательны, но в данном случае это не повлияет на знак неравенства, так как √(6x + 7) всегда неотрицательно при x ≥ -7/6.

Возведем обе части в квадрат:

6x + 7 > (8 - x)².

Шаг 3: Раскроем скобки.

(8 - x)² = 64 - 16x + x². Подставим это в неравенство:

6x + 7 > 64 - 16x + x².

Шаг 4: Переносим все в одну сторону.

Переносим все с одной стороны:

0 > x² - 22x + 57.

Это можно записать как:

x² - 22x + 57 < 0.

Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-22)² - 4 * 1 * 57 = 484 - 228 = 256.

Теперь найдем корни:

• x1 = (22 + √256) / 2 = (22 + 16) / 2 = 19;
• x2 = (22 - √256) / 2 = (22 - 16) / 2 = 3.

Корни уравнения x² - 22x + 57 = 0: x1 = 19 и x2 = 3.

Шаг 6: Определим промежутки.

Квадратное неравенство x² - 22x + 57 < 0 будет выполняться между корнями, то есть на промежутке (3, 19).

Шаг 7: Учитываем область допустимых значений.

Мы уже нашли, что x ≥ -7/6. Однако, так как -7/6 ≈ -1.17, это значение меньше 3. Поэтому область допустимых значений не изменяет наш ответ.

Ответ:

Решением неравенства является промежуток: (3, 19).