С использованием биномной теоремы, каков коэффициент при x^6*y^2009?

Математика 11 класс Биномная теорема биномная теорема коэффициент x^6 y^2009 задача по математике Новый

Чтобы найти коэффициент при x^6*y^2009 в разложении по биномной теореме, начнем с общей формулы бинома:

(a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k),

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который равен:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

В нашем случае мы рассматриваем выражение (x + y)^n, где n - это степень, которую мы еще не знаем. Нам нужно найти такие n и k, чтобы получить x^6 и y^2009.

Сначала определим, сколько раз мы должны взять x и y:

• Пусть k - это количество раз, когда мы берем y. Тогда степень x будет равна n - k.
• Мы хотим, чтобы x имел степень 6, то есть n - k = 6.
• Также мы хотим, чтобы y имел степень 2009, то есть k = 2009.

Теперь мы можем записать систему уравнений:

• n - k = 6
• k = 2009

Подставим значение k во первое уравнение:

n - 2009 = 6.

Таким образом, находим n:

n = 2009 + 6 = 2015.

Теперь у нас есть n = 2015 и k = 2009. Теперь мы можем найти коэффициент:

Коэффициент = C(2015, 2009).

Используем формулу для биномиального коэффициента:

C(2015, 2009) = 2015! / (2009! * (2015 - 2009)!) = 2015! / (2009! * 6!).

Теперь нам нужно вычислить это значение. Мы можем упростить выражение, используя свойства факториалов:

C(2015, 2009) = 2015 × 2014 × 2013 × 2012 × 2011 × 2010 / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1).

Теперь вычислим числитель:

• 2015 × 2014 = 4058210
• 4058210 × 2013 = 8155884130
• 8155884130 × 2012 = 16462225281960
• 16462225281960 × 2011 = 33088381393298260
• 33088381393298260 × 2010 = 66527583021381616060

Теперь вычислим знаменатель:

6! = 720.

Теперь делим числитель на знаменатель:

Коэффициент = 66527583021381616060 / 720.

Таким образом, мы получим окончательный ответ. После выполнения всех вычислений, мы получим коэффициент при x^6*y^2009 в разложении по биномной теореме.