Чтобы найти полную производную функции Z = x^2 + y^2 + xy по переменной t, где x = a * cos(t) и y = a * sin(t), мы будем использовать правило полной производной. Полная производная функции Z по t учитывает, как изменяются x и y относительно t.

Следуем шагам:

1. Вычислим частные производные Z по x и y:
   • Частная производная Z по x: dZ/dx = 2x + y
   • Частная производная Z по y: dZ/dy = 2y + x
2. Вычислим производные x и y по t:
   • Производная x по t: dx/dt = -a * sin(t)
   • Производная y по t: dy/dt = a * cos(t)
3. Теперь подставим все в формулу полной производной:

   Полная производная Z по t записывается как:

   dZ/dt = (dZ/dx) * (dx/dt) + (dZ/dy) * (dy/dt)
4. Подставляем значения:
   • Подставляем dZ/dx: (2x + y)
   • Подставляем dx/dt: (-a * sin(t))
   • Подставляем dZ/dy: (2y + x)
   • Подставляем dy/dt: (a * cos(t))

Теперь у нас получается:

Подставим x и y:

Теперь можно упростить это выражение, подставив значения для x и y и произведя необходимые арифметические операции. В результате вы получите полную производную Z по t.