Сколькими способами можно покрасить цикл с 11 вершинами правильным образом в 3 цвета так, чтобы ровно 2 вершины были покрашены в третий цвет?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория графов покраска цикла 11 вершин 3 цвета комбинаторика задачи по математике Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать комбинаторный подход. Нам нужно покрасить цикл из 11 вершин в 3 цвета так, чтобы ровно 2 вершины были покрашены в третий цвет, а остальные 9 вершин - в два других цвета.

Давайте разберем процесс покраски по шагам:

1. Выбор вершин для третьего цвета:

   Сначала мы выбираем 2 вершины из 11, которые будут покрашены в третий цвет. Это можно сделать с помощью сочетаний. Количество способов выбрать 2 вершины из 11 равно:

   C(11, 2) = 11! / (2! * (11 - 2)!) = 11! / (2! * 9!) = (11 * 10) / (2 * 1) = 55.

2. Покраска остальных вершин:

   Оставшиеся 9 вершин должны быть покрашены в два других цвета. Каждая из 9 вершин может быть покрашена в один из 2 оставшихся цветов. Таким образом, количество способов покрасить 9 вершин в 2 цвета равно:

   2^9 = 512.

3. Учет симметрии:

   Однако, поскольку мы имеем цикл, необходимо учесть, что некоторые раскраски могут быть одинаковыми из-за вращения. Для этого мы воспользуемся теорией групп. Мы можем применить формулу Поля для подсчета различных раскрасок:

   Количество уникальных раскрасок = (Общее количество раскрасок) / (Количество вершин в цикле) = (C(11, 2) * 2^9) / 11.

Теперь подставим наши значения:

Количество уникальных раскрасок = (55 * 512) / 11 = 280.

Ответ: Существует 280 способов покрасить цикл из 11 вершин в 3 цвета так, чтобы ровно 2 вершины были покрашены в третий цвет.