Сколько членов прогрессии 10, 15, 20 необходимо взять, чтобы их сумма составила 2475?

Математика 11 класс Сумма арифметической прогрессии прогрессия сумма прогрессии математика 11 класс члены прогрессии задача на прогрессию Новый

Для решения этой задачи сначала определим, что данная последовательность является арифметической прогрессией. В данной прогрессии:

• Первый член (a1) равен 10.
• Второй член (a2) равен 15.
• Третий член (a3) равен 20.

Общее правило для арифметической прогрессии: каждый следующий член получается путем добавления к предыдущему фиксированного числа, называемого разностью прогрессии (d).

В нашем случае:

• d = a2 - a1 = 15 - 10 = 5.

Теперь мы можем записать общий член прогрессии (an) по формуле:

an = a1 + (n - 1) * d.

Подставим известные значения:

an = 10 + (n - 1) * 5.

Теперь нам нужно найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов (S) выглядит следующим образом:

S = n/2 * (a1 + an).

Подставим значения:

S = n/2 * (10 + (10 + (n - 1) * 5)).

Упростим выражение:

S = n/2 * (10 + 10 + (n - 1) * 5) = n/2 * (20 + (n - 1) * 5).

Теперь подставим S = 2475:

2475 = n/2 * (20 + (n - 1) * 5).

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

4950 = n * (20 + (n - 1) * 5).

Раскроем скобки:

4950 = n * (20 + 5n - 5) = n * (5n + 15).

Теперь у нас есть уравнение:

4950 = 5n^2 + 15n.

Переносим все в одну сторону:

5n^2 + 15n - 4950 = 0.

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 5:

n^2 + 3n - 990 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-990) = 9 + 3960 = 3969.

Теперь найдем корни уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± √3969) / 2.

Сначала найдем √3969, что равно 63:

n = (-3 ± 63) / 2.

Теперь у нас два возможных значения:

• n1 = (60) / 2 = 30.
• n2 = (-66) / 2 = -33 (это значение не подходит, так как количество членов не может быть отрицательным).

Таким образом, нам нужно взять 30 членов прогрессии, чтобы их сумма составила 2475.