Сколько натуральных чисел, не превышающих 2020, обладают наибольшим количеством единиц в двоичной записи?

Математика 11 класс Комбинаторика и бинарные числа натуральные числа двоичная запись количество единиц числа до 2020 максимальное количество единиц Новый

Для решения задачи нам нужно определить, сколько натуральных чисел, не превышающих 2020, имеют наибольшее количество единиц в двоичной записи. Давайте разберем шаги, которые помогут нам это сделать.

Шаг 1: Найдем двоичное представление числа 2020.

Сначала преобразуем 2020 в двоичную систему счисления. Делим число на 2 и записываем остатки:

• 2020 / 2 = 1010 (остаток 0)
• 1010 / 2 = 505 (остаток 0)
• 505 / 2 = 252 (остаток 1)
• 252 / 2 = 126 (остаток 0)
• 126 / 2 = 63 (остаток 0)
• 63 / 2 = 31 (остаток 1)
• 31 / 2 = 15 (остаток 1)
• 15 / 2 = 7 (остаток 1)
• 7 / 2 = 3 (остаток 1)
• 3 / 2 = 1 (остаток 1)
• 1 / 2 = 0 (остаток 1)

Теперь читаем остатки снизу вверх. Получаем: 2020 в двоичной системе = 11111100100.

Шаг 2: Посчитаем количество единиц в двоичном представлении 2020.

В записи 11111100100 у нас 8 единиц.

Шаг 3: Найдем максимальное количество единиц для чисел, не превышающих 2020.

Теперь нам нужно найти все числа, у которых количество единиц в двоичной записи равно 8 или больше, но не превышает 2020.

Наибольшее количество единиц в двоичной записи числа, не превышающего 2020, равно 8.

Шаг 4: Генерация чисел с 8 единицами.

Чтобы найти числа с 8 единицами, мы можем использовать комбинации. Нам нужно выбрать 8 позиций из 11 (поскольку 2020 в двоичной записи состоит из 11 бит) для единиц, остальные 3 позиции будут нулями.

Число способов выбрать 8 позиций из 11 вычисляется по формуле сочетаний:

• C(11, 8) = C(11, 3) = 11! / (3! * (11 - 3)!) = 165.

Шаг 5: Проверка на превышение.

Теперь нам нужно проверить, не превышают ли эти числа 2020. Из 165 чисел, сгенерированных с 8 единицами, некоторые могут превышать 2020. Однако, так как 2020 имеет 8 единиц, мы можем быть уверены, что все числа, которые мы сгенерируем с 8 единицами и 3 нулями, не будут превышать 2020.

Ответ:

Таким образом, количество натуральных чисел, не превышающих 2020, которые обладают наибольшим количеством единиц в двоичной записи (8 единиц), равно 165.