Сколько существует способов удалить две цифры из пятнадцатизначного числа 432104321043210, чтобы оставшееся тринадцатизначное число делилось на 45?

Математика 11 класс Комбинаторика и делимость чисел способы удаления цифр пятнадцатизначное число делимость на 45 задачи по математике комбинаторика числа и делимость удаление цифр из числа Новый

Чтобы число делилось на 45, оно должно делиться на 5 и на 9. Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Делимость на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. В нашем числе 432104321043210 последняя цифра, которая могла бы остаться, должна быть 0, так как 5 в числе отсутствует. В нашем числе есть две цифры 0. Это значит, что одна из оставшихся цифр после удаления двух цифр должна быть 0.

2. Делимость на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Посчитаем сумму цифр исходного числа:

• 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 30

Теперь, чтобы 13-значное число делилось на 9, сумма его цифр должна быть равна 30 - (сумма удаленных цифр) и при этом делиться на 9.

3. Условия для удаления цифр

Теперь рассмотрим, какие цифры мы можем удалить, чтобы осталась цифра 0 и сумма оставшихся цифр делилась на 9. Нам нужно удалить две цифры.

Мы можем удалить 0, но тогда у нас останется только одна 0, и нам нужно удалить еще одну цифру. Если мы удалим 0 и любую другую цифру, сумма оставшихся цифр будет: 30 - (0 + x) = 30 - x. Это число должно делиться на 9.

4. Проверим возможные варианты удаления

Перечислим цифры, которые мы можем удалить и проверим, какие суммы будут делиться на 9:

• Удаляем 0 и 1: 30 - (0 + 1) = 29 (не делится на 9)
• Удаляем 0 и 2: 30 - (0 + 2) = 28 (не делится на 9)
• Удаляем 0 и 3: 30 - (0 + 3) = 27 (делится на 9)
• Удаляем 0 и 4: 30 - (0 + 4) = 26 (не делится на 9)
• Удаляем 0 и 0: 30 - (0 + 0) = 30 (не делится на 9)

Таким образом, единственный вариант, чтобы сумма оставшихся цифр делилась на 9 - это удалить 0 и 3.

5. Способы удаления

Теперь посчитаем, сколько способов удалить две цифры, чтобы осталась одна 0 и одна 3. У нас в числе 432104321043210 есть:

• 2 нуля
• 3 тройки

Мы можем удалить 0 и 3 разными способами:

• Удалить одну из 0 и одну из 3: 2 * 3 = 6 способов.
• Удалить 0 и 0: 1 способ (удаляем одну 0 и одну 3).

Таким образом, всего существует 7 способов удалить две цифры так, чтобы оставшееся число делилось на 45.

Ответ: 7 способов.