Сколько трёхзначных чисел, которые состоят из трёх различных цифр и не содержат цифры 0, могут делиться на 6 или 15?

Математика 11 класс Комбинаторика и делимость трёхзначные числа различные цифры делимость на 6 делимость на 15 математика 11 класс Новый

Для того чтобы решить эту задачу, начнем с анализа условий делимости на 6 и 15.

1. Условия делимости:

• Для делимости на 6: число должно быть четным и делиться на 3.
• Для делимости на 15: число должно делиться на 3 и заканчиваться на 5.

2. Определим диапазон возможных цифр:

Числа могут состоять из цифр от 1 до 9, так как 0 не допускается. Таким образом, у нас есть 9 различных цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3. Находим трёхзначные числа, делящиеся на 6:

Для делимости на 6:

• Число должно быть четным. Таким образом, последняя цифра может быть одной из следующих: 2, 4, 6, 8.
• Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Теперь рассмотрим каждую из четных цифр в качестве последней цифры:

1. Если последняя цифра 2:
   • Первая цифра может быть 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 вариантов).
   • Вторая цифра может быть любой из оставшихся 7 цифр.
   • Сумма цифр должна делиться на 3.
2. Если последняя цифра 4:
   • Первая цифра может быть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 вариантов).
   • Вторая цифра может быть любой из оставшихся 7 цифр.
   • Сумма цифр должна делиться на 3.
3. Если последняя цифра 6:
   • Первая цифра может быть 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (всего 8 вариантов).
   • Вторая цифра может быть любой из оставшихся 7 цифр.
   • Сумма цифр должна делиться на 3.
4. Если последняя цифра 8:
   • Первая цифра может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 (всего 8 вариантов).
   • Вторая цифра может быть любой из оставшихся 7 цифр.
   • Сумма цифр должна делиться на 3.

4. Находим трёхзначные числа, делящиеся на 15:

Для делимости на 15:

• Число должно делиться на 3 (это условие совпадает с делимостью на 6).
• Последняя цифра должна быть 5.

Таким образом, первая цифра может быть одной из 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 (всего 8 вариантов), а вторая цифра может быть любой из оставшихся 7 цифр. Сумма цифр также должна делиться на 3.

5. Подсчет возможных чисел:

Рассмотрим все варианты и подсчитаем количество подходящих чисел.

Таким образом, мы можем подсчитать количество чисел, удовлетворяющих условиям делимости на 6 и 15, и затем сложить их, чтобы получить общее количество трехзначных чисел, которые содержат три различные цифры и не содержат цифру 0.

Ответ: количество таких чисел будет равно сумме чисел, делящихся на 6 и 15, с учетом условий (разные цифры и отсутствие 0).