Случайные величины X и Y независимы и имеют нормальное распределение.

Известно, что MX=3, DX=9, MY=2, DY=1. Как найти P(|2X+Y|<2)?

Математика 11 класс Вероятностные распределения и случайные величины нормальное распределение независимые случайные величины математическая статистика вероятность P(|2X+Y|<2) математическое ожидание дисперсия Новый

Для решения задачи нам нужно найти вероятность P(|2X + Y|). Поскольку X и Y независимы и имеют нормальное распределение, мы можем использовать свойства нормальных величин.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Z = 2X + Y.

1. Сначала найдем математическое ожидание Z:
• MX = 3, MY = 2
• Тогда математическое ожидание Z можно найти по формуле: MZ = M(2X + Y) = 2MX + MY = 2 * 3 + 2 = 6 + 2 = 8.
2. Теперь найдем дисперсию Z:
• DX = 9, DY = 1
• Дисперсия суммы независимых случайных величин складывается, а при умножении на константу она увеличивается в квадрате этой константы: D(2X + Y) = D(2X) + D(Y) = 4DX + DY = 4 * 9 + 1 = 36 + 1 = 37.

Шаг 2: Теперь мы знаем, что Z = 2X + Y имеет нормальное распределение с параметрами:

• MZ = 8
• DZ = 37

Шаг 3: Теперь найдем вероятность P(|Z|).

Сначала найдем P(Z < 0) и P(Z > 0). Поскольку Z имеет нормальное распределение, мы можем использовать стандартные нормальные таблицы или калькуляторы.

Для этого нам нужно стандартизировать Z:

• Стандартизируем Z: W = (Z - MZ) / sqrt(DZ) = (Z - 8) / sqrt(37).

Теперь мы можем найти вероятность:

• Для P(Z < 0): P(Z < 0) = P(W < (0 - 8) / sqrt(37)).
• Для P(Z > 0): P(Z > 0) = P(W > (0 - 8) / sqrt(37)).

Суммируя вероятности, мы получим:

P(|Z|) = P(Z < 0) + P(Z > 0).

Шаг 4: Вычислите значения и получите результат.

Таким образом, мы можем найти искомую вероятность P(|2X + Y|), используя стандартные нормальные таблицы или компьютерные программы для вычисления значений. Это даст нам окончательный ответ.