Чтобы решить уравнение x^2 - [x^2] = (x - [x])^2 на отрезке 1 ≤ x ≤ 10, начнем с анализа его компонентов.

1. Разберемся с левой частью уравнения:

• x^2 - [x^2] - это дробная часть числа x^2, которую обозначают как {x^2}. Она равна x^2 - n, где n - целая часть x^2.
• Таким образом, {x^2} = x^2 - [x^2].

2. Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

• (x - [x])^2 - это квадрат дробной части числа x, которую обозначают как {x}. То есть {x} = x - [x].
• Поэтому (x - [x])^2 = {x}^2.

3. Теперь перепишем уравнение с учетом этих обозначений:

{x^2} = {x}^2

4. Заметим, что дробная часть {x^2} всегда находится в интервале [0, 1) и аналогично для {x}. Следовательно, у нас есть два случая:

• Случай 1: {x} = 0, то есть x - целое число.
• Случай 2: {x} ≠ 0, тогда мы можем записать уравнение в виде: x^2 - [x^2] = (x - [x])^2.

5. Теперь найдем возможные значения x на отрезке [1, 10]. Мы будем проверять целые значения и дробные.

Для целых значений:

• x = 1: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 2: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 3: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 4: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 5: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 6: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 7: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 8: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 9: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.
• x = 10: {x^2} = 0, {x} = 0. Уравнение выполняется.

Таким образом, для целых значений x от 1 до 10 уравнение выполняется.

Теперь проверим дробные значения x в интервале (n, n+1), где n - целое число:

• Для x = 1.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 2.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 3.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 4.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 5.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 6.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 7.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 8.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.
• Для x = 9.5: {x^2} = 0.25, {x} = 0.5. Уравнение не выполняется.

Таким образом, уравнение не выполняется для дробных значений x на данном отрезке.

Итак, итог: Уравнение имеет 10 решений на отрезке 1 ≤ x ≤ 10, и это все целые значения от 1 до 10.