СРОЧНО ДАМ 100 БАЛЛОВ

Как можно проанализировать функцию y=x^3-2x+4 и создать ее график?

Математика 11 класс Исследование функций и построение графиков анализ функции график функции y=x^3-2x+4 математика 11 класс построение графика кубическая функция исследование функции Новый

Чтобы проанализировать функцию y = x^3 - 2x + 4 и создать ее график, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

1. Определение области определения функции

Функция y = x^3 - 2x + 4 является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения: x ∈ R.

2. Нахождение производной функции

Для анализа функции полезно найти ее производную, чтобы определить критические точки и поведение функции.

• Находим производную: y' = 3x^2 - 2.

3. Поиск критических точек

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• 3x^2 - 2 = 0
• 3x^2 = 2
• x^2 = 2/3
• x = ±√(2/3) ≈ ±0.816.

4. Определение знака производной

Теперь нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Для этого исследуем интервалы:

• Выбираем тестовые точки в интервалах (-∞, -√(2/3)), (-√(2/3), √(2/3)), (√(2/3), +∞).
• Например, для x = -1: y'(-1) = 3(-1)^2 - 2 = 1 (положительно).
• Для x = 0: y'(0) = -2 (отрицательно).
• Для x = 1: y'(1) = 1 (положительно).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -√(2/3)) и (√(2/3), +∞), и убывает на интервале (-√(2/3), √(2/3)).

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(-√(2/3)) = (-√(2/3))^3 - 2(-√(2/3)) + 4.
• y(√(2/3)) = (√(2/3))^3 - 2(√(2/3)) + 4.

6. Нахождение пределов функции

Посмотрим на поведение функции при x → ±∞:

• При x → +∞, y → +∞.
• При x → -∞, y → -∞.

7. Построение графика функции

Теперь, имея все эти данные, мы можем построить график функции:

• Наносим критические точки на координатную плоскость.
• Отмечаем интервалы возрастания и убывания.
• Добавляем асимптоты и поведение на бесконечности.

График функции будет иметь одну точку минимума и одну точку максимума, а также будет стремиться к бесконечности при больших значениях x.

Таким образом, мы проанализировали функцию и можем построить ее график, основываясь на полученных данных.