Точка движется по прямой с заданной скоростью v(t) = sin^5(t) * cos(t). Каков закон движения этой точки, если начальное положение s(0) = 0?

Математика 11 класс Законы движения и интегрирование математика 11 класс закон движения точки скорость точки начальное положение функция скорости тригонометрические функции интеграл скорости Движение по прямой Новый

Для того чтобы найти закон движения точки, нам нужно определить функцию перемещения s(t), используя данную скорость v(t). Скорость v(t) является производной функции перемещения s(t) по времени t. То есть:

1. Запишем уравнение:

s'(t) = v(t) = sin^5(t) * cos(t)

2. Найдем функцию перемещения s(t) путем интегрирования скорости v(t):

Для этого нам нужно вычислить интеграл от v(t):

3. Интегрируем:

s(t) = ∫(sin^5(t) * cos(t)) dt

Заметим, что мы можем использовать замену переменной для упрощения интегрирования. Пусть u = sin(t), тогда du = cos(t) dt. Это позволяет нам переписать интеграл:

s(t) = ∫(u^5) du

4. Вычисляем интеграл:

Интеграл от u^5 равен:

(1/6) * u^6 + C, где C — произвольная константа.

Теперь подставим обратно u = sin(t):

s(t) = (1/6) * sin^6(t) + C

5. Используем начальное условие s(0) = 0 для нахождения C:

Подставим t = 0:

s(0) = (1/6) * sin^6(0) + C = 0

Так как sin(0) = 0, то:

C = 0

6. Запишем окончательную формулу для s(t):

s(t) = (1/6) * sin^6(t)

Таким образом, закон движения точки задается функцией:

s(t) = (1/6) * sin^6(t)