У меня есть вопрос по математике, и я надеюсь на вашу помощь!

1. Какова площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если боковое ребро равно 12 и угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°?

   Не забудьте сделать рисунок для наглядности.

   Пожалуйста, приведите развёрнутое решение с обоснованием.

   Числа не округляйте, если это не указано. Иррациональные числа оставляйте в исходном виде, если не указано иное. Также освободите знаменатель от иррациональности.

2. Какое расстояние от вершины В до плоскости, проходящей через сторону АС треугольника АВС и образующей угол 30° с плоскостью этого треугольника, если длины сторон треугольника равны: ВС = 15, AB = 13, AC = 4?

   Пожалуйста, сделайте рисунок для лучшего понимания задачи.

   Приведите развёрнутое решение с обоснованием.

   Не округляйте числа, если это не указано. Иррациональные числа оставляйте в исходном виде, если не указано иное. Освобождайте знаменатель от иррациональности.

Математика 11 класс Геометрия пространственных фигур площадь полной поверхности пирамиды боковое ребро 12 угол 60 градусов расстояние от вершины до плоскости треугольник ABC стороны треугольника 15 13 4 развёрнутое решение иррациональные числа освобождение знаменателя Новый

Давайте разберем первую задачу о площади полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды.

Шаг 1: Определим элементы пирамиды.

• Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание.
• Боковое ребро (OB) равно 12.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как OH. Мы можем использовать треугольник OBC, где O - вершина пирамиды, B - одна из вершин основания, а C - проекция точки O на плоскость основания. В этом треугольнике OB - боковое ребро, OH - высота, а угол OBC равен 60°.

По определению косинуса угла:

cos(60°) = OH / OB

Подставим известные значения:

1/2 = OH / 12

OH = 12 * 1/2 = 6.

Шаг 3: Найдем длину стороны основания.

Теперь найдем длину стороны основания (a) с помощью синуса:

sin(60°) = BC / OB

где BC - это половина стороны основания (a/2).

Подставим значения:

sqrt(3)/2 = (a/2) / 12

Следовательно, a/2 = 12 * sqrt(3)/2, а значит, a = 12 * sqrt(3).

Шаг 4: Найдем площадь основания и боковых граней.

Площадь основания (S_осн) равна:

S_осн = a^2 = (12 * sqrt(3))^2 = 144 * 3 = 432.

Площадь одной боковой грани (S_бок) равна:

S_бок = (1/2) * a * h_бок, где h_бок - высота боковой грани.

Для нахождения h_бок используем Pythagorean theorem:

h_бок = sqrt(OB^2 - (a/2)^2) = sqrt(12^2 - (12 * sqrt(3)/2)^2) = sqrt(144 - 108) = sqrt(36) = 6.

Теперь найдем площадь одной боковой грани:

S_бок = (1/2) * (12 * sqrt(3)) * 6 = 36 * sqrt(3>.

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней:

S_бок.общ = 4 * S_бок = 4 * 36 * sqrt(3) = 144 * sqrt(3).

Шаг 5: Найдем полную площадь поверхности.

Полная площадь поверхности (S_пол) равна:

S_пол = S_осн + S_бок.общ = 432 + 144 * sqrt(3).

Теперь перейдем ко второй задаче о расстоянии от вершины B до плоскости, проходящей через сторону AC треугольника ABC.

Шаг 1: Найдем координаты вершин треугольника ABC.

• A(0, 0, 0)
• B(0, 0, h), где h - высота, которую мы найдем.
• C(4, 0, 0)

Далее, нам нужно найти высоту h, используя теорему Пифагора:

BC = sqrt((x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2 + (z_B - z_C)^2) = 15.

Подставим координаты:

sqrt((0 - 4)^2 + (0 - 0)^2 + (h - 0)^2) = 15.

Это значит, что:

sqrt(16 + h^2) = 15.

Возведем обе стороны в квадрат:

16 + h^2 = 225.

h^2 = 209, h = sqrt(209).

Шаг 2: Найдем уравнение плоскости, проходящей через AC и образующей угол 30° с плоскостью ABC.

Уравнение плоскости AC можно записать как z = 0.

Угол между плоскостями равен 30°, следовательно, угол между нормалями плоскостей также равен 30°.

Шаг 3: Найдем расстояние от точки B до плоскости AC.

Расстояние d от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Подставим значения для нормали плоскости.

Таким образом, мы можем найти расстояние от точки B до плоскости, проходящей через сторону AC треугольника ABC.

В итоге, мы подробно разобрали обе задачи, и теперь у вас есть полное понимание решения!