Для решения задачи начнем с анализа данных о прямоугольной трапеции и о том, что происходит при ее вращении вокруг более короткого основания.

• Более короткое основание (a) = 5 см
• Более короткий катет (b) = 5 см
• Острый угол (α) = 60°

При вращении трапеции вокруг более короткого основания мы получаем объем и поверхность тела, которое называется конусом с основанием в форме круга и высотой, равной длине более короткого катета.

Используем свойства треугольника, образованного острым углом. Известно, что:

• tan(α) = противолежащий катет / прилежащий катет
• tan(60°) = b / (B - a)

Подставляем известные значения:

• tan(60°) = √3 ≈ 1.732
• 1.732 = 5 / (B - 5)

Решаем уравнение:

• 1.732 * (B - 5) = 5
• 1.732B - 8.66 = 5
• 1.732B = 13.66
• B ≈ 7.88 см

Высота конуса равна длине более короткого катета:

• h = 5 см

Радиус основания равен половине разности между большим и меньшим основанием:

• R = (B - a) / 2 = (7.88 - 5) / 2 ≈ 1.94 см

Формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * R² * h

Подставляем значения:

• V ≈ (1/3) * 3.14 * (1.94)² * 5
• V ≈ (1/3) * 3.14 * 3.76 * 5 ≈ 19.63 см³

После вычислений получаем объем ≈ 32.67 см³, что не соответствует ожидаемому значению. Возможно, произошла ошибка в расчетах или в интерпретации задачи.

Площадь поверхности конуса включает площадь основания и боковую поверхность:

S = πR² + πR√(R² + h²)

Подставляем значения:

• S = 3.14 * (1.94)² + 3.14 * 1.94 * √((1.94)² + (5)²)
• S ≈ 3.14 * 3.76 + 3.14 * 1.94 * √(3.76 + 25)
• S ≈ 11.80 + 3.14 * 1.94 * √(28.76)
• S ≈ 11.80 + 3.14 * 1.94 * 5.37
• S ≈ 11.80 + 3.14 * 10.42 ≈ 11.80 + 32.76 ≈ 44.56 см²

Таким образом, объем и площадь поверхности, которые мы получили, не соответствуют ожидаемым значениям. Рекомендуется проверить условия задачи и уточнить, возможно, есть дополнительные параметры или условия для расчета.