У нас есть функция f(x) = 3(x² - 1). Среднее значение этой функции на интервале [1; a] в 9 раз превышает модуль среднего значения функции f на интервале [0; 1]. Какое число соответствует значению a?

Математика 11 класс Среднее значение функции на интервале функция f(x) среднее значение функции интервал [1; a] интервал [0; 1] модуль среднего значения математическая задача решение уравнения нахождение a Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с нахождения среднего значения функции f(x) = 3(x² - 1) на заданных интервалах.

Среднее значение функции f на интервале [b; c] можно найти по формуле:

M = (1 / (c - b)) * ∫(b to c) f(x) dx

Теперь найдем среднее значение функции на интервале [0; 1].

1. Вычислим интеграл:
• ∫(0 to 1) f(x) dx = ∫(0 to 1) 3(x² - 1) dx
• Это равняется 3 * (∫(0 to 1) x² dx - ∫(0 to 1) 1 dx).
2. Теперь найдем каждый из интегралов:
• ∫(0 to 1) x² dx = [x³ / 3] (от 0 до 1) = 1/3.
• ∫(0 to 1) 1 dx = [x] (от 0 до 1) = 1.
3. Теперь подставим значения в интеграл:
• ∫(0 to 1) f(x) dx = 3 * (1/3 - 1) = 3 * (-2/3) = -2.
4. Теперь найдем среднее значение на интервале [0; 1]:
• M(0, 1) = (1 / (1 - 0)) * (-2) = -2.

Теперь найдем среднее значение функции на интервале [1; a].

1. Вычислим интеграл:
• ∫(1 to a) f(x) dx = ∫(1 to a) 3(x² - 1) dx.
• Это равняется 3 * (∫(1 to a) x² dx - ∫(1 to a) 1 dx).
2. Теперь найдем каждый из интегралов:
• ∫(1 to a) x² dx = [x³ / 3] (от 1 до a) = (a³ / 3) - (1/3).
• ∫(1 to a) 1 dx = [x] (от 1 до a) = a - 1.
3. Теперь подставим значения в интеграл:
• ∫(1 to a) f(x) dx = 3 * ((a³ / 3) - (1/3) - (a - 1)) = a³ - 1 - 3(a - 1) = a³ - 3a + 2.
4. Теперь найдем среднее значение на интервале [1; a]:
• M(1, a) = (1 / (a - 1)) * (a³ - 3a + 2).

Согласно условию задачи, среднее значение на интервале [1; a] в 9 раз превышает модуль среднего значения на интервале [0; 1]:

M(1, a) = 9 * |M(0, 1)|

Подставим найденные значения:

(1 / (a - 1)) * (a³ - 3a + 2) = 9 * 2

Упростим уравнение:

(a³ - 3a + 2) = 18(a - 1)

Раскроем скобки:

a³ - 3a + 2 = 18a - 18

Переносим все в одну сторону:

a³ - 21a + 20 = 0

Теперь нужно решить это кубическое уравнение. Можно попробовать подставить различные значения для a. Проверим, например, a = 1, 2, 3, ...

• Для a = 1: 1³ - 21*1 + 20 = 0 (не подходит)
• Для a = 2: 2³ - 21*2 + 20 = -6 (не подходит)
• Для a = 3: 3³ - 21*3 + 20 = -6 (не подходит)
• Для a = 4: 4³ - 21*4 + 20 = 0 (подходит)

Таким образом, значение a равно 4.

Ответ: a = 4.