У нас есть функция: f(x) = x^3 + 5x^2 + 4x + 2. Как решить уравнение: f'(x) = f(1)?

Математика 11 класс Производная функции и уравнения с производными функция уравнение производная решение математика 11 класс f'(x) f(1) x^3 5x^2 4x нахождение производной Новый

Чтобы решить уравнение f'(x) = f(1), нам нужно сначала найти производную функции f(x) и значение f(1).

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Функция f(x) задана как:

f(x) = x^3 + 5x^2 + 4x + 2.

Теперь найдем f'(x), используя правило дифференцирования:

• Производная x^3 равна 3x^2.
• Производная 5x^2 равна 10x.
• Производная 4x равна 4.
• Производная константы 2 равна 0.

Таким образом, производная f'(x) будет:

f'(x) = 3x^2 + 10x + 4.

Шаг 2: Найдем значение f(1).

Теперь подставим x = 1 в функцию f(x):

f(1) = 1^3 + 5 * 1^2 + 4 * 1 + 2.

Вычислим это:

• 1^3 = 1
• 5 * 1^2 = 5
• 4 * 1 = 4
• Итак, f(1) = 1 + 5 + 4 + 2 = 12.

Шаг 3: Теперь решим уравнение f'(x) = f(1).

Мы нашли, что f(1) = 12. Теперь у нас есть уравнение:

3x^2 + 10x + 4 = 12.

Переносим 12 в левую часть уравнения:

3x^2 + 10x + 4 - 12 = 0.

Упрощаем:

3x^2 + 10x - 8 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Для решения уравнения 3x^2 + 10x - 8 = 0 используем формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 3, b = 10, c = -8.

Сначала находим дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 3 * (-8) = 100 + 96 = 196.

Теперь находим корни:

• x1 = (-10 + √196) / (2 * 3) = (-10 + 14) / 6 = 4 / 6 = 2/3.
• x2 = (-10 - √196) / (2 * 3) = (-10 - 14) / 6 = -24 / 6 = -4.

Ответ: Уравнение f'(x) = f(1) имеет два решения: x = 2/3 и x = -4.