В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.

Каковы:

1. Объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам?
2. Наибольший объем описанного цилиндра?

Математика 11 класс Геометрические тела объем конуса объём цилиндра математика 11 класс геометрия задачи на объём цилиндр и конус высота конуса максимальный объем цилиндра Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа условий. У нас есть конус, объем которого равен 72. Обозначим радиус основания конуса как R, а высоту конуса как H. Объем конуса вычисляется по формуле:

V = (1/3) * π * R² * H

Согласно условию, V = 72. Мы можем выразить H через R:

72 = (1/3) * π * R² * H

Отсюда получаем:

H = (216 / (π * R²))

Теперь перейдем к цилиндру, который вписан в конус. Он имеет нижнее основание, лежащее на основании конуса, и верхнее основание, которое делит высоту конуса пополам. Значит, высота цилиндра будет равна H/2.

Радиус верхнего основания цилиндра обозначим как r. Чтобы найти r, мы можем использовать подобие треугольников: треугольник, образованный высотой конуса и радиусом его основания, подобен треугольнику, образованному высотой цилиндра и радиусом его верхнего основания.

Поэтому:

r / R = (H/2) / H

Упрощая это, получаем:

r = R / 2

Теперь можем найти объем цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

V_цилиндра = π * r² * h

Подставим значения:

V_цилиндра = π * (R/2)² * (H/2)

Это упрощается до:

V_цилиндра = π * (R² / 4) * (H / 2) = (π * R² * H) / 8

Теперь подставим H из предыдущего выражения:

V_цилиндра = (π * R² * (216 / (π * R²))) / 8 = 27

Таким образом, объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам, равен 27.

Теперь найдем наибольший объем описанного цилиндра. Объем цилиндра максимален, когда его радиус равен R/3. Это происходит, когда высота цилиндра составляет 2/3 высоты конуса.

В этом случае радиус r будет равен:

r = R/3

Высота цилиндра будет равна:

h = 2H/3

Теперь можем найти объем максимального цилиндра:

V_макс. цилиндра = π * (R/3)² * (2H/3)

Подставим значения:

V_макс. цилиндра = π * (R² / 9) * (2H/3) = (2π * R² * H) / 27

Теперь подставим H:

V_макс. цилиндра = (2π * R² * (216 / (π * R²))) / 27 = 16

Таким образом, наибольший объем описанного цилиндра равен 16.

Ответы:

• Объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам: 27.
• Наибольший объем описанного цилиндра: 16.