В параллелограмме ABCD биссектрисa угла A, равного 60 ГРАДУСОВ, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Какой периметр параллелограмма, если AB=8?

Математика 11 класс Биссектрисы и свойства параллелограммов параллелограмм ABCD биссектрисa угла A угол 60 градусов точка M отрезки AM и DM периметр параллелограмма AB равно 8 задача по математике 11 класс Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Определим свойства параллелограмма: В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, то есть AB = CD и AD = BC. У нас есть AB = 8, следовательно, CD = 8.

2. Используем свойства углов: Угол A равен 60 градусам. В параллелограмме углы A и C являются смежными, поэтому угол C также равен 60 градусам. Углы B и D соответственно равны 120 градусам (180 - 60 = 120).

3. Рассмотрим биссектрису: Биссектрисa угла A делит его на два равных угла по 30 градусов. Так как AM и DM перпендикулярны, это означает, что угол AMD равен 90 градусам.

4. Используем треугольник AMD: В треугольнике AMD угол A = 30 градусов, угол D = 90 градусов. Следовательно, угол M = 60 градусов (180 - 30 - 90 = 60). Треугольник AMD является прямоугольным, и мы можем использовать соотношения в нем.

5. Найдем длину AM и DM: В треугольнике AMD, если AM = x, то DM будет высотой, проведенной из точки D к стороне AM. Мы знаем, что угол A = 30 градусов, поэтому:

• sin(30) = DM / AD, где AD = BC.
• DM = AD * sin(30) = AD * 0.5.

6. Найдем AD: В параллелограмме ABCD, стороны AB и AD связаны следующим образом:

• AD = AB * tan(60) = 8 * sqrt(3).

7. Теперь подставим значения:

• DM = AD * 0.5 = (8 * sqrt(3)) * 0.5 = 4 * sqrt(3).

8. Теперь найдем периметр параллелограмма: Периметр P равен сумме всех сторон:

• P = 2 * (AB + AD) = 2 * (8 + 8 * sqrt(3)).

9. Подсчитаем:

• P = 2 * (8 + 8 * sqrt(3)) = 16 + 16 * sqrt(3).

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 16 + 16 * sqrt(3).