В пирамиде с квадратным основанием АБЦ, диагональ которого равна 2 корня из 2, и высотой, равной корню из 7, какой синус угла образуется между диагональю основания и боковым ребром пирамиды?

Математика 11 класс Синусы углов в пространственных фигурах пирамида с квадратным основанием синус угла пирамиды диагональ основания боковое ребро пирамиды высота пирамиды математика 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что найдем длину стороны квадрата основания пирамиды. Поскольку диагональ квадрата равна 2 корня из 2, воспользуемся формулой для нахождения диагонали квадрата:

d = a * корень(2)

где d - диагональ квадрата, a - длина стороны квадрата. Подставим известное значение:

2 * корень(2) = a * корень(2)

Теперь делим обе стороны уравнения на корень(2):

2 = a

Таким образом, длина стороны квадрата основания равна 2.

Теперь найдем координаты вершин квадрата основания. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)

Вершина пирамиды, обозначим её как O, находится над центром квадрата. Центр квадрата можно найти как:

O(1, 1, h)

где h - высота пирамиды, равная корню из 7. Таким образом, координаты вершины O будут:

O(1, 1, корень(7))

Теперь найдем вектор, который представляет диагональ основания AC:

AC = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0)

И найдем вектор бокового ребра AO:

AO = O - A = (1, 1, корень(7)) - (0, 0, 0) = (1, 1, корень(7))

Теперь найдем длины этих векторов:

Длина вектора AC:

|AC| = корень(2^2 + 2^2 + 0^2) = корень(8) = 2 * корень(2)

Длина вектора AO:

|AO| = корень(1^2 + 1^2 + (корень(7))^2) = корень(1 + 1 + 7) = корень(9) = 3

Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и AO:

AC · AO = (2, 2, 0) · (1, 1, корень(7)) = 2*1 + 2*1 + 0*корень(7) = 2 + 2 = 4

Теперь можем найти косинус угла между векторами:

cos(угол) = (AC · AO) / (|AC| * |AO|)

cos(угол) = 4 / (2 * корень(2) * 3) = 4 / (6 * корень(2)) = 2 / (3 * корень(2))

Теперь, используя тригонометрическую идентичность, найдем синус угла:

sin(угол) = корень(1 - cos^2(угол))

Сначала найдем cos^2(угол):

cos^2(угол) = (2 / (3 * корень(2)))^2 = 4 / (18) = 2 / 9

Теперь подставим в формулу для синуса:

sin(угол) = корень(1 - 2/9) = корень(7/9) = корень(7) / 3

Таким образом, синус угла между диагональю основания и боковым ребром пирамиды равен:

sin(угол) = корень(7) / 3