В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания, а высота пирамиды составляет 10. Как можно вычислить площадь поверхности этой пирамиды?

Математика 11 класс Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида площадь поверхности пирамиды угол с плоскостью основания высота пирамиды вычисление площади поверхности Новый

Чтобы вычислить площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно найти площадь основания и площадь боковых граней. Давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Найдем сторону основания.

В правильной четырехугольной пирамиде основание является квадратом. Обозначим сторону квадрата как "a". Боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания, и высота пирамиды составляет 10. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны основания.

Пусть "h" - высота пирамиды, которая равна 10. Боковое ребро "l" образует угол 60 градусов с высотой. Мы можем выразить боковое ребро через высоту:

• cos(60°) = h / l

Поскольку cos(60°) = 0.5, мы можем записать:

• 0.5 = 10 / l

Отсюда:

• l = 10 / 0.5 = 20.

Шаг 2: Найдем расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

Это расстояние является апофемой боковой грани, которую мы можем обозначить как "R". В правильной четырехугольной пирамиде апофема "R" и сторона основания "a" связаны через прямоугольный треугольник, где:

• R = sqrt((a/2)² + h²).

Шаг 3: Найдем сторону основания.

Используя треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковым ребром, мы можем выразить "a" через "l":

• sin(60°) = (a/2) / l.

Здесь sin(60°) = sqrt(3)/2, поэтому:

• sqrt(3)/2 = (a/2) / 20.

Отсюда:

• a = 20 * sqrt(3).

Шаг 4: Найдем площадь основания.

Площадь основания "S_основания" квадрата равна:

• S_основания = a² = (20 * sqrt(3))² = 400 * 3 = 1200.

Шаг 5: Найдем площадь боковых граней.

Площадь одной боковой грани равна:

• S_боковой = (1/2) * a * R.

Сначала найдем "R":

• R = sqrt((20 * sqrt(3)/2)² + 10²) = sqrt(300 + 100) = sqrt(400) = 20.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани:

• S_боковой = (1/2) * (20 * sqrt(3)) * 20 = 200 * sqrt(3).

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

• S_боковые = 4 * 200 * sqrt(3) = 800 * sqrt(3).

Шаг 6: Найдем общую площадь поверхности пирамиды.

Теперь мы можем найти общую площадь поверхности "S_общая":

• S_общая = S_основания + S_боковые = 1200 + 800 * sqrt(3).

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет:

• S_общая = 1200 + 800 * sqrt(3).

Это и будет окончательный ответ.