Чтобы найти объем правильной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем задачу по шагам.

Поскольку основание пирамиды является правильным многоугольником, а периметр основания равен 24√2, мы можем предположить, что основание является квадратом, так как это наиболее распространенный случай для правильных пирамид.

Периметр квадрата вычисляется по формуле:

Периметр = 4 * сторона.

Таким образом, мы можем найти сторону квадрата:

1. Периметр = 24√2.
2. 4 * сторона = 24√2.
3. Сторона = (24√2) / 4 = 6√2.

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

Площадь = сторона * сторона.

Подставим найденное значение стороны:

1. Площадь = (6√2) * (6√2) = 36 * 2 = 72.

В правильной пирамиде высота, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Боковое ребро равно 10, а половина стороны основания равна (6√2) / 2 = 3√2.

Теперь применим теорему Пифагора:

(боковое ребро)^2 = (высота)^2 + (половина стороны основания)^2.

Подставим известные значения:

1. 10^2 = (высота)^2 + (3√2)^2.
2. 100 = (высота)^2 + 18.
3. (высота)^2 = 100 - 18 = 82.
4. высота = √82.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

Объем = (1/3) * площадь основания * высота.

Подставим найденные значения:

1. Объем = (1/3) * 72 * √82.
2. Объем = 24 * √82.

Таким образом, объем правильной пирамиды ABCDM равен 24√82.