В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна 4 корня из 3, а боковое ребро - 5. Найдите:

1. площадь боковой поверхности пирамиды
2. объем пирамиды
3. угол между боковым ребром и плоскостью основания
4. скалярное произведение векторов 0,5(МВ+МС) ЕА, где Е - середина ВС
5. объем вписанного в пирамиду шара
6. угол между стороной основания и плоскостью боковой грани

Математика 11 класс Геометрия трехмерных фигур правильная треугольная пирамида сторона основания боковое ребро площадь боковой поверхности объём пирамиды угол между боковым ребром и плоскостью основания скалярное произведение векторов объем вписанного шара угол между стороной основания и плоскостью боковой грани математика 11 класс Новый

1) Площадь боковой поверхности пирамиды.

Для начала, чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно воспользоваться формулой:

Sбок = (1/2) * Р * A, где Р – периметр основания, а A – апофема.

• Сначала найдем периметр основания. Основание является правильным треугольником со стороной 4√3, поэтому:
• Р = 3 * (4√3) = 12√3.

Теперь найдем апофему. Апофема A – это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к основанию. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти A:

• A = √(СМ² - (ВС/2)²), где СМ - длина бокового ребра, равная 5, а ВС – основание треугольника, равное 4√3.
• Подставляя значения, получаем A = √(5² - (4√3/2)²) = √(25 - 12) = √13.

Теперь подставим найденные значения в формулу:

Sбок = (1/2) * (12√3) * √13 = 6√39.

2) Объем пирамиды.

Чтобы найти объем пирамиды, используем формулу:

V = (1/3) * So * H, где So – площадь основания, а H – высота пирамиды.

• Площадь основания (правильного треугольника) можно найти по формуле So = (a² * √3) / 4, где a = 4√3:
• So = ( (4√3)² * √3 ) / 4 = 48√3 / 4 = 12√3.

Теперь найдем высоту H. Высота H может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

• H = √(5² - ((4√3)/√3)²) = √(25 - 16) = 3.

Подставим все данные в формулу для объема:

V = (1/3) * (12√3) * 3 = 12√3.

3) Угол α между боковым ребром и плоскостью основания.

Угол α можно найти, используя арк синус:

α = arc sin(H / AM), где AM – это длина бокового ребра, равная 5:

α = arc sin(3 / 5) ≈ 0,6435 радиан или 36,87°.

4) Скалярное произведение векторов 0,5(МВ + МС) и ЕА, где Е – середина ВС.

Этот вопрос требует отдельного рассмотрения, так как он сложнее и требует более глубокого анализа векторов. Мы можем разобрать его отдельно, используя координаты точек.

5) Объем вписанного в пирамиду шара.

Для этого проведем осевое сечение пирамиды через боковое ребро. Высота АД (которая также является медианой и биссектрисой) равна:

АД = a * cos(30°) = (4√3) * (√3/2) = 6.

Теперь, чтобы найти радиус R вписанного шара, используем формулу:

R = (abc) / (4S), где a, b, c – стороны треугольника АМД, S – площадь этого треугольника:

• Площадь S = (1/2) * АД * H = (1/2) * 6 * 3 = 9.

Теперь подставим все в формулу радиуса:

R = (5 * 6 * √13) / (4 * 9) = (5√13) / 6 ≈ 3,00.

Объем шара Vш = (4/3) * π * R³, что дает нам:

Vш ≈ (π * 1625√13) / 162 ≈ π * 36,17.

6) Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.

Чтобы определить этот угол, нам нужно найти плоский угол между стороной АС и ее проекцией на плоскость грани СМВ.

Проекция АС на АМС – это отрезок АК. Длина АК может быть найдена по формуле:

AK = 2S(AMD) / MD, где S(AMD) – площадь треугольника АМД:

S(AMД) = (1/2) * АД * H = 9.

AK = (2 * 9) / (√13) = 18 / √13.

Теперь можем найти длину отрезка СК, используя теорему Пифагора:

СК = √((СД)² + (КД)²), где КД = √(АД² - АК²) и СД = 2√3.

Собрав все данные, мы можем вычислить угол между стороной основания и плоскостью боковой грани, используя косинус угла:

cos β = (AC² + КС² - АК²) / (2 * AC * КС).

Получив значение, мы можем перейти к арк косинусу, чтобы найти угол β.

Таким образом, мы можем найти все необходимые значения и углы, используя предложенные формулы и теоремы.