В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 ребро 𝐴𝐵 равно 3, ребро 𝐴𝐷 равно 2√10, а ребро 𝐴𝐴1 равно 2. Точка 𝐾 является серединой ребра 𝐵𝐵1. Какова площадь сечения, проходящего через точки 𝐴1, 𝐷1 и 𝐾? Я вижу, что в ответе указано "20", и на чертеже в решении добавляют точку К1, что приводит к площади 20, но мне нужно найти площадь сечения треугольника. Как быть?

Математика 11 класс Площадь сечения многогранников площадь сечения треугольник прямоугольный параллелепипед математика 11 класс геометрия решение задач площадь треугольника точки параллелепипеда серединная точка свойства треугольника Новый

Чтобы найти площадь сечения, проходящего через точки A1, D1 и K, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем это подробно.

1. Определим координаты вершин параллелепипеда.

   • Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0).
   • Тогда точка B будет (3, 0, 0), так как AB = 3.
   • Точка D будет (0, 2√10, 0), так как AD = 2√10.
   • Точка A1 будет (0, 0, 2), так как AA1 = 2.
   • Точка D1 будет (0, 2√10, 2).
   • Точка B1 будет (3, 0, 2).
   • Точка K, являющаяся серединой ребра BB1, будет иметь координаты (3, 0, 1).

2. Теперь у нас есть координаты точек A1, D1 и K:

   • A1 (0, 0, 2)
   • D1 (0, 2√10, 2)
   • K (3, 0, 1)

3. Найдем векторы, образующие стороны треугольника A1D1K.

   • Вектор A1D1: D1 - A1 = (0, 2√10, 2) - (0, 0, 2) = (0, 2√10, 0)
   • Вектор A1K: K - A1 = (3, 0, 1) - (0, 0, 2) = (3, 0, -1)

4. Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить площадь параллелограмма, образованного этими векторами. Площадь треугольника будет равна половине этой площади.

   • Векторное произведение A1D1 и A1K можно найти следующим образом:
     • A1D1 = (0, 2√10, 0)
     • A1K = (3, 0, -1)

   Формула для векторного произведения векторов (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) выглядит так: (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2).

   Подставим значения:

   • x1 = 0, y1 = 2√10, z1 = 0
   • x2 = 3, y2 = 0, z2 = -1

   Вычисляем:

   • 1-я компонента: (2√10 -1 - 0 0) = -2√10
   • 2-я компонента: (0 3 - 0 -1) = 0
   • 3-я компонента: (0 0 - 2√10 3) = -6√10

   Таким образом, векторное произведение A1D1 и A1K равно (-2√10, 0, -6√10).

5. Теперь найдем длину этого векторного произведения, чтобы получить площадь параллелограмма: Длина вектора V = (x, y, z) вычисляется по формуле: √(x^2 + y^2 + z^2).

   Подставляем: √((-2√10)^2 + 0^2 + (-6√10)^2) = √(40 + 0 + 360) = √400 = 20.

6. Площадь треугольника A1D1K равна половине площади параллелограмма: Площадь треугольника = 1/2 * 20 = 10.

Таким образом, площадь сечения, проходящего через точки A1, D1 и K, равна 10. Возможно, в вашем источнике указана площадь другого сечения или ошибка в расчетах. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, дайте знать!