В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 ребро 𝐴𝐵 равно 3, ребро 𝐴𝐷 равно 2√10, а ребро 𝐴𝐴1 равно 2. Точка 𝐾 является серединой ребра 𝐵𝐵1. Какова площадь сечения, проходящего через точки 𝐴1, 𝐷1 и 𝐾? Я вижу, что в ответе указано "20", и на чертеже в...
В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 ребро 𝐴𝐵 равно 3, ребро 𝐴𝐷 равно 2√10, а ребро 𝐴𝐴1 равно 2. Точка 𝐾 является серединой ребра 𝐵𝐵1. Какова площадь сечения, проходящего через точки 𝐴1, 𝐷1 и 𝐾? Я вижу, что в ответе указано "20", и на чертеже в решении добавляют точку К1, что приводит к площади 20, но мне нужно найти площадь сечения треугольника. Как быть?
Чтобы найти площадь сечения, проходящего через точки A1, D1 и K, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем это подробно.
1. **Определим координаты вершин параллелепипеда.**
- Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0).
- Тогда точка B будет (3, 0, 0), так как AB = 3.
- Точка D будет (0, 2√10, 0), так как AD = 2√10.
- Точка A1 будет (0, 0, 2), так как AA1 = 2.
- Точка D1 будет (0, 2√10, 2).
- Точка B1 будет (3, 0, 2).
- Точка K, являющаяся серединой ребра BB1, будет иметь координаты (3, 0, 1).
2. **Теперь у нас есть координаты точек A1, D1 и K:**
- A1 (0, 0, 2)
- D1 (0, 2√10, 2)
- K (3, 0, 1)
3. **Найдем векторы, образующие стороны треугольника A1D1K.**
- Вектор A1D1: D1 - A1 = (0, 2√10, 2) - (0, 0, 2) = (0, 2√10, 0)
- Вектор A1K: K - A1 = (3, 0, 1) - (0, 0, 2) = (3, 0, -1)
4. **Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить площадь параллелограмма, образованного этими векторами. Площадь треугольника будет равна половине этой площади.**
- Векторное произведение A1D1 и A1K можно найти следующим образом:
- A1D1 = (0, 2√10, 0)
- A1K = (3, 0, -1)
Формула для векторного произведения векторов (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) выглядит так:
(y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2).
Подставим значения:
- x1 = 0, y1 = 2√10, z1 = 0
- x2 = 3, y2 = 0, z2 = -1
Вычисляем:
- 1-я компонента: (2√10 * -1 - 0 * 0) = -2√10
- 2-я компонента: (0 * 3 - 0 * -1) = 0
- 3-я компонента: (0 * 0 - 2√10 * 3) = -6√10
Таким образом, векторное произведение A1D1 и A1K равно (-2√10, 0, -6√10).
5. **Теперь найдем длину этого векторного произведения, чтобы получить площадь параллелограмма:**
Длина вектора V = (x, y, z) вычисляется по формуле:
√(x^2 + y^2 + z^2).
Подставляем:
√((-2√10)^2 + 0^2 + (-6√10)^2) = √(40 + 0 + 360) = √400 = 20.
6. **Площадь треугольника A1D1K равна половине площади параллелограмма:**
Площадь треугольника = 1/2 * 20 = 10.
Таким образом, площадь сечения, проходящего через точки A1, D1 и K, равна 10. Возможно, в вашем источнике указана площадь другого сечения или ошибка в расчетах. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, дайте знать!
