В прямоугольном треугольнике биссектрисa прямого угла делит гипотенузу в отношении 1:2. Какое отношение имеет высота, опущенная на гипотенузу?

Математика 11 класс Биссектрисы и высоты в треугольниках прямоугольный треугольник биссектрисa гипотенуза высота отношение математика 11 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника и его элементов.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Обозначим:

• A - вершина на одной стороне прямого угла;
• B - вершина на другой стороне прямого угла;
• C - вершина, где находится прямой угол;
• AB - гипотенуза.

Согласно условию, биссектрисa угла C делит гипотенузу AB в отношении 1:2. Обозначим точку D, где биссектрисa пересекает гипотенузу AB. Это значит, что:

• AD : DB = 1 : 2.

Пусть AD = x, тогда DB = 2x. Таким образом, вся гипотенуза AB будет равна:

• AB = AD + DB = x + 2x = 3x.

Теперь нам нужно найти отношение высоты, опущенной на гипотенузу. Обозначим высоту, опущенную из точки C на гипотенузу AB, как h.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, высота h, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка, которые пропорциональны длинам катетов. Обозначим катеты треугольника как a и b, где:

• a - длина катета AC;
• b - длина катета BC.

По теореме о высоте, опущенной на гипотенузу, можно записать:

• h^2 = AD * DB.

Подставим значения AD и DB:

• h^2 = x * 2x = 2x^2.

Теперь, чтобы найти h, мы берем корень из обеих сторон:

• h = √(2x^2) = x√2.

Таким образом, высота h, опущенная на гипотенузу, имеет длину x√2.

Теперь найдем отношение высоты h к длине гипотенузы AB:

• AB = 3x.

Отношение высоты к гипотенузе будет равно:

• h : AB = x√2 : 3x = √2 : 3.

Таким образом, ответ на вопрос: отношение высоты, опущенной на гипотенузу, к самой гипотенузе равно √2 : 3.