В прямоугольном треугольнике с прямым углом в точке С проведены биссектрисы углов А и С, которые пересекаются в точке М. Известно, что угол АМК равен 58 градусов. Какой угол АКМ в градусах?

Математика 11 класс Биссектрисы углов треугольника прямоугольный треугольник биссектрисы угол АМК угол АКМ геометрия 11 класс математика Новый

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C, мы знаем, что:

• Угол ACB равен 90 градусам.
• Угол AMK равен 58 градусам.

Теперь давайте обозначим углы:

• Угол CAB = α
• Угол ABC = β

Так как треугольник ABC прямоугольный, то сумма углов α и β равна 90 градусам:

α + β = 90°.

Теперь рассмотрим точку M, где пересекаются биссектрисы углов A и C. Из свойств биссектрисы мы знаем, что:

• Угол AMB = (α / 2) + (β / 2) = (α + β) / 2 = 90° / 2 = 45°.
• Угол AMC = (α / 2) + (90° / 2) = (α / 2) + 45°.

Теперь мы можем рассмотреть угол AMK. Угол AMK можно выразить через углы AMB и AMC:

Угол AMK = 180° - (угол AMB + угол AMC).

Подставим известные значения:

Угол AMK = 180° - (45° + (α / 2 + 45°)) = 180° - (90° + α / 2) = 90° - α / 2.

Итак, у нас есть уравнение:

90° - α / 2 = 58°.

Теперь решим это уравнение для α:

90° - 58° = α / 2.

32° = α / 2.

α = 64°.

Теперь мы можем найти угол АКМ:

Угол АКМ = 90° - α / 2 = 90° - 64° / 2 = 90° - 32° = 58°.

Таким образом, угол АКМ равен 58 градусам.

Ответ: угол АКМ равен 58 градусам.