Для решения задачи о вероятностях рождения мальчиков и девочек в семье, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае, вероятность рождения мальчика и девочки равны, то есть p = 0.5.

Сначала определим общее количество детей в семье, которое равно 6.

а) Вероятность рождения 2 мальчиков и 4 девочек:

Для нахождения этой вероятности воспользуемся формулой биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где:

• C(n, k) - число сочетаний из n по k,
• p - вероятность рождения мальчика (0.5),
• n - общее количество детей (6),
• k - количество мальчиков (2).

Сначала вычислим число сочетаний C(6, 2):

C(6, 2) = 6! / (2!(6-2)!) = (6*5) / (2*1) = 15.

Теперь подставим значения в формулу:

P(X = 2) = C(6, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^(6-2) = 15 * (0.5)^2 * (0.5)^4 = 15 * (0.5)^6.

Теперь вычислим (0.5)^6:

(0.5)^6 = 1/64.

Таким образом, P(X = 2) = 15 * (1/64) = 15/64.

б) Вероятность, что число мальчиков в семье от 0 до 3:

Нам нужно найти сумму вероятностей для k = 0, 1, 2 и 3:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

Теперь вычислим каждую из этих вероятностей:

1. P(X = 0):

P(X = 0) = C(6, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^6 = 1 * 1 * (1/64) = 1/64.

2. P(X = 1):

P(X = 1) = C(6, 1) * (0.5)^1 * (0.5)^5 = 6 * (1/2) * (1/32) = 6/64.

3. P(X = 2): (уже вычислено ранее)

P(X = 2) = 15/64.

4. P(X = 3):

P(X = 3) = C(6, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^3 = 20 * (1/8) * (1/8) = 20/64.

Теперь сложим все вероятности:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1/64 + 6/64 + 15/64 + 20/64 = 42/64.

Упрощаем дробь:

42/64 = 21/32.

Ответ:

а) Вероятность того, что в семье 2 мальчика и 4 девочки равна 15/64.

б) Вероятность того, что число мальчиков в семье от 0 до 3 равно 21/32.