В типографии на двух печатных машинах нужно напечатать 4200 плакатов. Известно, что скорость печати первой машины на 20 листов в минуту выше, чем у второй, и поэтому 1200 листов она печатает на 5 минут быстрее. Какое время потребуется типографии для печати плакатов, если машины будут работать одновременно? Ответ дайте в минутах.

Математика 11 класс Системы уравнений математика 11 класс задачи на скорость печать плакатов типография системы уравнений решение задач одновременная работа машин Новый

Для решения задачи начнем с обозначения переменных. Пусть скорость печати второй машины составляет x листов в минуту. Тогда скорость первой машины будет равна x + 20 листов в минуту.

Теперь определим время, за которое каждая из машин печатает 1200 листов. Время печати для второй машины будет равно:

• t2 = 1200 / x

А время печати для первой машины:

• t1 = 1200 / (x + 20)

Согласно условию задачи, первая машина печатает 1200 листов на 5 минут быстрее, чем вторая. Это можно записать в виде уравнения:

t2 - t1 = 5

Подставим выражения для времени:

• 1200 / x - 1200 / (x + 20) = 5

Теперь умножим обе части уравнения на x(x + 20), чтобы избавиться от дробей:

• 1200(x + 20) - 1200x = 5x(x + 20)

Упростим уравнение:

• 1200x + 24000 - 1200x = 5x^2 + 100x
• 24000 = 5x^2 + 100x

Перепишем уравнение в стандартной форме:

• 5x^2 + 100x - 24000 = 0

Теперь упростим его, разделив на 5:

• x^2 + 20x - 4800 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 * 1 * (-4800) = 400 + 19200 = 19600

Теперь найдем корни уравнения:

• x = (-b ± √D) / 2a = (-20 ± √19600) / 2
• √19600 = 140
• x = (-20 + 140) / 2 = 60
• x = (-20 - 140) / 2 = -80 (отрицательное значение не имеет смысла)

Таким образом, скорость второй машины x = 60 листов в минуту, а скорость первой машины x + 20 = 80 листов в минуту.

Теперь найдем время, необходимое для печати 4200 плакатов, если обе машины работают одновременно. Сначала найдем общее количество листов, которое печатают обе машины за 1 минуту:

• Скорость первой машины: 80 листов в минуту
• Скорость второй машины: 60 листов в минуту
• Общая скорость: 80 + 60 = 140 листов в минуту

Теперь найдем время, необходимое для печати 4200 листов:

• Время = Общее количество листов / Общая скорость = 4200 / 140 = 30 минут

Таким образом, время, необходимое типографии для печати плакатов, составляет 30 минут.