В треугольнике ABC, где стороны AB и BC равны 24, а внешний угол при вершине C составляет 150 градусов, какова длина медианы BK?

Математика 11 класс Медианы и их свойства в треугольниках медиана треугольника треугольник ABC длина медианы BK внешний угол треугольника стороны треугольника угол при вершине C Новый

Для решения задачи мы будем использовать свойства треугольников и формулы для вычисления медиан.

Дано, что в треугольнике ABC стороны AB и BC равны 24, а внешний угол при вершине C составляет 150 градусов. Это значит, что внутренний угол при вершине C равен:

• 180 градусов - 150 градусов = 30 градусов.

Теперь мы можем обозначить длину стороны AC как x. Таким образом, у нас есть треугольник ABC с двумя равными сторонами (AB = BC = 24) и углом между ними (угол C = 30 градусов).

Для нахождения длины стороны AC (x) мы можем использовать закон косинусов:

Формула закона косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где a и b - стороны треугольника, c - сторона, противолежащая углу γ.

В нашем случае:

• a = AB = 24,
• b = BC = 24,
• γ = угол C = 30 градусов.

Подставляем значения в формулу:

x² = 24² + 24² - 2 * 24 * 24 * cos(30°).

Теперь вычислим cos(30°):

• cos(30°) = √3/2.

Подставляем это значение в формулу:

x² = 576 + 576 - 2 * 24 * 24 * (√3/2).

x² = 1152 - 576√3.

Теперь, чтобы найти длину медианы BK, используем формулу для длины медианы:

Формула длины медианы:

m = 0.5 * √(2a² + 2b² - c²),

где a и b - стороны, к которым проведена медиана, c - сторона, противолежащая медиане.

В нашем случае:

• a = AB = 24,
• b = AC = x,
• c = BC = 24.

Подставляем значения в формулу медианы:

BK = 0.5 * √(2 * 24² + 2 * x² - 24²).

BK = 0.5 * √(48 * 576 + 2 * (1152 - 576√3) - 576).

После упрощения получим длину медианы BK. Важно учитывать, что для точного вычисления необходимо подставить значение x, которое мы нашли ранее.

Таким образом, длина медианы BK будет равна:

BK = 0.5 * √(1152 - 576√3).

Это и будет ответ на задачу. Для получения численного значения вам нужно будет подставить значение √3 и выполнить окончательные вычисления.