В треугольнике ABC выбраны точки M и N на сторонах AB и BC соответственно. Известно, что AB = 5AM, а BC = 3BN. Каково отношение площади четырехугольника AMNC к площади треугольника BMN?

Математика 11 класс Площади фигур в треугольниках отношение площадей треугольник ABC точки M и N стороны AB и BC площадь четырехугольника AMNC площадь треугольника BMN Новый

Для решения задачи мы будем использовать свойства площадей треугольников и четырехугольников, а также соотношения, заданные в условии.

1. Обозначим площади треугольников:

• S(ABC) - площадь всего треугольника ABC.
• S(BMN) - площадь треугольника BMN.
• S(AMNC) - площадь четырехугольника AMNC.

2. Из условия задачи мы знаем, что:

• AB = 5AM, следовательно, AM = AB / 5.
• BC = 3BN, следовательно, BN = BC / 3.

3. Теперь найдем отношение площадей треугольников:

• Площадь треугольника AMB можно выразить через площадь треугольника ABC. Поскольку AM = AB / 5, то:
• S(AMB) = (AM / AB) * S(ABC) = (1/5) * S(ABC).
• Площадь треугольника BNC можно выразить аналогично, учитывая, что BN = BC / 3:
• S(BNC) = (BN / BC) * S(ABC) = (1/3) * S(ABC).

4. Теперь найдем площадь четырехугольника AMNC:

• Площадь четырехугольника AMNC можно выразить как разность площадей треугольника ABC и треугольников AMB и BNC:
• S(AMNC) = S(ABC) - S(AMB) - S(BNC).
• Подставим найденные площади:
• S(AMNC) = S(ABC) - (1/5) * S(ABC) - (1/3) * S(ABC) = S(ABC) * (1 - 1/5 - 1/3).

5. Найдем общий знаменатель для 1 - 1/5 - 1/3:

• Общий знаменатель для 5 и 3 - это 15.
• 1 = 15/15, 1/5 = 3/15, 1/3 = 5/15.
• Теперь подставим:
• 1 - 1/5 - 1/3 = 15/15 - 3/15 - 5/15 = 7/15.

6. Таким образом, мы имеем:

• S(AMNC) = S(ABC) * (7/15).
• S(BMN) = S(ABC) - S(AMB) = S(ABC) - (1/5) * S(ABC) = (4/5) * S(ABC).

7. Теперь найдем отношение площадей четырехугольника AMNC и треугольника BMN:

• Отношение = S(AMNC) / S(BMN) = (7/15) * S(ABC) / ((4/5) * S(ABC)).
• Сократим S(ABC):
• Отношение = (7/15) / (4/5) = (7/15) * (5/4) = 35/60 = 7/12.

Ответ: Отношение площади четырехугольника AMNC к площади треугольника BMN равно 7:12.