В задаче даны точки A, B, C и D. Необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить координаты векторов a=AB, b=AC и c=D;
2. Вычислить скалярное произведение векторов a и b;
3. Найти угол φ между векторами a и b;
4. Определить направление вектора c в пространстве;
5. Рассчитать векторное произведение векторов a и b;
6. Определить площадь фигуры ДАВС;
7. Вычислить смешанное произведение векторов a, b и c;
8. Составить уравнение прямой AB и найти ее точки пересечения с координатными плоскостями;
9. Найти точку 2, симметричную точке l относительно плоскости, проходящей через B, C и D.

Точки: a(-2,5,2), b(1,3,4), c(-1,5,6), d(4,-3,5).

Математика 11 класс Векторы и их свойства в пространстве векторы скалярное произведение угол между векторами направление вектора векторное произведение площадь фигуры смешанное произведение уравнение прямой симметричная точка Новый

Давайте поэтапно решим задачу, начиная с определения координат векторов, а затем выполняя остальные действия.

1. Определение координат векторов a, b и c:

• Вектор a = AB:
  • Координаты точки A: (-2, 5, 2)
  • Координаты точки B: (1, 3, 4)
  • Координаты вектора a = B - A = (1 - (-2), 3 - 5, 4 - 2) = (3, -2, 2)
• Вектор b = AC:
  • Координаты точки C: (-1, 5, 6)
  • Координаты вектора b = C - A = (-1 - (-2), 5 - 5, 6 - 2) = (1, 0, 4)
• Вектор c = D:
  • Координаты точки D: (4, -3, 5)
  • Таким образом, вектор c = (4, -3, 5)

2. Вычисление скалярного произведения векторов a и b:

Скалярное произведение векторов a и b рассчитывается по формуле:

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

Подставляем значения:

a · b = 3 * 1 + (-2) * 0 + 2 * 4 = 3 + 0 + 8 = 11

Итак, скалярное произведение векторов a и b равно 11.

3. Нахождение угла φ между векторами a и b:

Угол φ можно найти по формуле:

cos(φ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Сначала найдем длины векторов a и b:

• |a| = sqrt(3^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(9 + 4 + 4) = sqrt(17)
• |b| = sqrt(1^2 + 0^2 + 4^2) = sqrt(1 + 0 + 16) = sqrt(17)

Теперь подставим в формулу:

cos(φ) = 11 / (sqrt(17) * sqrt(17)) = 11 / 17

Следовательно, φ = arccos(11/17).

4. Определение направления вектора c в пространстве:

Вектор c имеет координаты (4, -3, 5). Его направление можно описать как:

• Положительное направление по оси X (4)
• Отрицательное направление по оси Y (-3)
• Положительное направление по оси Z (5)

5. Рассчет векторного произведения векторов a и b:

Векторное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:

a × b = |a| * |b| * sin(φ) * n, где n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами a и b.

Вычислим векторное произведение:

• a × b = |i j k|
• |3 -2 2|
• |1 0 4|

Вычисляем определитель:

a × b = i((-2)*4 - 2*0) - j(3*4 - 2*1) + k(3*0 - (-2)*1) = (-8)i - (12 - 2)j + (0 + 2)k = (-8, -10, 2)

6. Определение площади фигуры ДАВС:

Площадь фигуры, образованной точками D, A, B и C, можно найти, используя векторное произведение векторов:

Площадь = 0.5 * |a × b|

Сначала найдем длину векторного произведения:

|a × b| = sqrt((-8)^2 + (-10)^2 + 2^2) = sqrt(64 + 100 + 4) = sqrt(168)

Площадь = 0.5 * sqrt(168).

7. Вычисление смешанного произведения векторов a, b и c:

Смешанное произведение можно вычислить как:

[a, b, c] = a · (b × c)

Сначала найдем векторное произведение b и c, а затем скалярное произведение с вектором a.

8. Составление уравнения прямой AB и нахождение ее точек пересечения с координатными плоскостями:

Уравнение прямой AB можно записать в параметрической форме:

X = -2 + 3t, Y = 5 - 2t, Z = 2 + 2t, где t - параметр.

Для нахождения точек пересечения с координатными плоскостями подставляем значения:

• Для плоскости YZ (X = 0): 0 = -2 + 3t => t = 2/3. Подставляем t в уравнения Y и Z.
• Для плоскости XZ (Y = 0): 0 = 5 - 2t => t = 5/2. Подставляем t в уравнения X и Z.
• Для плоскости XY (Z = 0): 0 = 2 + 2t => t = -1. Подставляем t в уравнения X и Y.

9. Нахождение точки 2, симметричной точке l относительно плоскости, проходящей через B, C и D:

Для нахождения симметричной точки нужно найти нормаль к плоскости, проходящей через точки B, C и D, а затем использовать формулу отражения.

Таким образом, мы последовательно выполнили все необходимые действия для решения задачи.