Для решения данной задачи начнем с анализа выражения, которое нам дано: cos(α + β) + cos(α + γ) + cos(β + γ) + cos(β - α) + cos(γ - α) + cos(γ - β) = 7/17. Мы знаем, что углы α, β и γ образуют острые углы с положительными направлениями осей, что означает, что cos(α), cos(β) и cos(γ) все положительные. Теперь давайте обозначим: x = cos(α), y = cos(β), z = cos(γ). Тогда мы можем записать выражение в более удобной форме: x + y + z = S, где S - искомая сумма. Теперь мы можем выразить косинусы сумм и разностей углов через x, y и z. Используя тригонометрические формулы, получаем: 1. cos(α + β) = xy - sqrt(1 - x^2) * sqrt(1 - y^2), 2. cos(α + γ) = xz - sqrt(1 - x^2) * sqrt(1 - z^2), 3. cos(β + γ) = yz - sqrt(1 - y^2) * sqrt(1 - z^2), 4. cos(β - α) = yx + sqrt(1 - y^2) * sqrt(1 - x^2), 5. cos(γ - α) = zx + sqrt(1 - z^2) * sqrt(1 - x^2), 6. cos(γ - β) = zy + sqrt(1 - z^2) * sqrt(1 - y^2). Теперь подставим эти выражения в наше уравнение: xy - sqrt(1 - x^2) * sqrt(1 - y^2) + xz - sqrt(1 - x^2) * sqrt(1 - z^2) + yz - sqrt(1 - y^2) * sqrt(1 - z^2) + yx + sqrt(1 - y^2) * sqrt(1 - x^2) + zx + sqrt(1 - z^2) * sqrt(1 - x^2) + zy + sqrt(1 - z^2) * sqrt(1 - y^2) = 7/17. В результате мы получаем довольно сложное уравнение. Однако, чтобы упростить задачу, давайте попробуем найти значение S = x + y + z, которое удовлетворяет данному уравнению. Одним из способов решения может быть подстановка значений. Попробуем взять: x = y = z = k. Тогда S = 3k, и мы можем выразить все косинусы через k. Подставляя в исходное уравнение, получим: 3k^2 + 3k^2 = 7/17. Таким образом, получаем: 6k^2 = 7/17, k^2 = 7/102, k = sqrt(7/102). Теперь можем найти S: S = 3k = 3 * sqrt(7/102). Приблизительно вычисляя, получаем: S ≈ 3 * 0.273 = 0.819. Округляем до сотых: S ≈ 0.82. Таким образом, ответ на задачу:

Ответ: 0.82