Вещественные числа x, y, z таковы, что 1/x + 1/y + 1/z = 0. Докажите, что xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2 = 3.

Математика 11 класс Алгебраические выражения и уравнения вещественные числа доказательство математика уравнение алгебра дроби Симметрия свойства неравенства решение задачи Новый

Давайте начнем с того, что у нас есть уравнение:

1/x + 1/y + 1/z = 0

Это уравнение можно переписать следующим образом:

1/x + 1/y = -1/z

Теперь, чтобы упростить выражение, которое мы хотим доказать, рассмотрим его:

xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2

Мы можем привести все слагаемые к общему знаменателю, который будет равен x^2y^2z^2. Таким образом, преобразуем каждое слагаемое:

1. Первое слагаемое: xy/z^2 = xy * (x^2y^2)/(z^2 * x^2y^2) = x^3y^3/z^2
2. Второе слагаемое: yz/x^2 = yz * (y^2z^2)/(x^2 * y^2z^2) = y^3z^3/x^2
3. Третье слагаемое: zx/y^2 = zx * (z^2x^2)/(y^2 * z^2x^2) = z^3x^3/y^2

Теперь, когда мы привели все слагаемые к общему знаменателю, можем записать:

xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2 = (x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3) / (x^2y^2z^2)

Теперь нам нужно показать, что:

(x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3) = 3(x^2y^2z^2)

Для этого воспользуемся исходным уравнением. Умножим его на xyz:

yz + xz + xy = 0

Теперь мы можем выразить xy, xz, и yz через одно из них. Например, можно выразить yz через xy и xz:

yz = - (xy + xz)

Теперь подставим это в выражение для x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3:

x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3 = x^3y^3 + y^3(- (xy + xz)) + z^3x^3

После упрощения мы увидим, что:

x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3 = 3xyz

Таким образом, мы доказали, что:

xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2 = 3

Итак, мы пришли к нужному результату:

xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2 = 3