Для решения неравенства √|√[4]{(x-1)(x-3)+1} - 3| > 1/√(x-2) - 5, начнем с анализа условий и преобразований.

1. **Определим область определения**: Неравенство содержит выражение 1/√(x-2), которое определено только при x > 2. Таким образом, область определения неравенства - это x > 2.

2. **Перепишем неравенство**: Упростим его, добавив 5 к обеим частям:

• √|√[4]{(x-1)(x-3)+1} - 3| > 1/√(x-2) - 5
• √|√[4]{(x-1)(x-3)+1} - 3| + 5 > 1/√(x-2)

3. **Рассмотрим два случая для модуля**: Поскольку у нас есть модуль, рассмотрим два случая:

• Случай 1: √[4]{(x-1)(x-3) + 1} - 3 > 0
• Случай 2: √[4]{(x-1)(x-3) + 1} - 3 < 0

4. **Решим первый случай**: Поскольку √[4]{(x-1)(x-3) + 1} - 3 > 0, то:

• √[4]{(x-1)(x-3) + 1} > 3
• (x-1)(x-3) + 1 > 81
• (x-1)(x-3) > 80

Решим неравенство (x-1)(x-3) > 80. Это квадратное неравенство, которое можно решить, найдя корни уравнения (x-1)(x-3) = 80.

5. **Находим корни**: Раскроем скобки:

• x^2 - 4x + 3 - 80 = 0
• x^2 - 4x - 77 = 0

6. **Используем дискриминант**: D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-77) = 16 + 308 = 324. Тогда корни:

• x1 = (4 + √324)/2 = (4 + 18)/2 = 11
• x2 = (4 - √324)/2 = (4 - 18)/2 = -7

7. **Решаем неравенство**: Теперь, исследуем знаки выражения (x-1)(x-3) - 80 на интервалах:

• (-∞, -7), (-7, 11), (11, +∞)

В результате, (x-1)(x-3) > 80, когда x < -7 или x > 11.

8. **Решаем второй случай**: Теперь рассмотрим случай, когда √[4]{(x-1)(x-3) + 1} - 3 < 0:

• √[4]{(x-1)(x-3) + 1} < 3
• (x-1)(x-3) + 1 < 81
• (x-1)(x-3) < 80

Здесь мы опять решаем квадратное неравенство (x-1)(x-3) < 80, что будет давать интервал между корнями, найденными ранее:

• -7 < x < 11

9. **Объединяем результаты**: Теперь у нас есть два интервала:

• x < -7
• 11 < x

10. **Учитываем ограничение |x| ≤ 50**: Это ограничение не влияет на наши интервалы, так как они уже находятся в пределах [-50, 50].

11. **Находим целые решения**: Теперь найдем целые числа в интервалах:

• Для x < -7: целые числа -8, -9, -10, ..., -50 (всего 43 числа)
• Для x > 11: целые числа 12, 13, ..., 50 (всего 39 чисел)

12. **Суммируем целые решения**: Теперь найдем сумму всех целых чисел:

• Сумма от -50 до -8 = -8 * (43) - (43 * (43 + 1)) / 2 = -8 * 43 - 946 = -344 - 946 = -1290
• Сумма от 12 до 50 = (50 * 51)/2 - (11 * 12)/2 = 1275 - 66 = 1209

13. **Итоговая сумма**: Суммируем обе части:

• -1290 + 1209 = -81

Таким образом, сумма всех целочисленных решений неравенства составляет -81.