Похожие вопросы
2026-01-19 20:36:00
Вопрос 4. Найдите решения системы уравнений:
- x⁴ + xz + yz - b = 0
- x² + y² + 2a(y - x) + 2a² = 0
где a = 7, b = 15.
Вычислите значения выражения x_k² + y_k² + z_k³ для каждого решения (x_k, y_k, z_k) системы и определите среди них минимальное.
В ответе укажите найденное минимальное значение, округлив его до двух знаков после запятой, если это необходимо.
Если решений нет или их бесконечно много, укажите цифру 0 в бланке ответов.
Математика 11 класс Системы уравнений система уравнений решения системы математические уравнения x⁴ + xz + yz - b x² + y² + 2a(y - x) вычисление значений минимальное значение округление до двух знаков математика 11 класс
2026-01-19 20:36:27
Для решения данной системы уравнений начнем с подстановки значений a и b в уравнения. У нас есть:
- a = 7
- b = 15
Теперь подставим эти значения в уравнения:
- x⁴ + xz + yz - 15 = 0
- x² + y² + 2*7(y - x) + 2*7² = 0
Упростим второе уравнение:
2*7² = 2*49 = 98, поэтому второе уравнение можно записать как:
x² + y² + 14(y - x) + 98 = 0.
Раскроем скобки:
x² + y² + 14y - 14x + 98 = 0.
Теперь у нас есть система:
- x⁴ + xz + yz - 15 = 0
- x² + y² - 14x + 14y + 98 = 0
Решим второе уравнение для y:
y² + 14y + (x² - 14x + 98) = 0.
Это квадратное уравнение по y. Для его решения воспользуемся дискриминантом:
D = 14² - 4*1*(x² - 14x + 98) = 196 - 4(x² - 14x + 98).
Упростим D:
D = 196 - 4x² + 56x - 392 = -4x² + 56x - 196.
Теперь, чтобы у уравнения было хотя бы одно решение, D должно быть неотрицательным:
-4x² + 56x - 196 ≥ 0.
Решим это неравенство:
Сначала найдем корни уравнения -4x² + 56x - 196 = 0:
D' = 56² - 4*(-4)*(-196) = 3136 - 3136 = 0.
Корень:
x = -b/(2a) = -56/(-8) = 7.
Таким образом, у нас есть один корень x = 7. Подставим это значение в неравенство:
Теперь проверим, как D меняется при x = 7:
D(7) = -4(7)² + 56(7) - 196 = -196 + 392 - 196 = 0.
Так как D = 0, у нас будет одно решение для y:
y = (-14 ± √0)/2 = -7.
Теперь подставим x = 7 и y = -7 во второе уравнение, чтобы найти z:
7⁴ + 7z - 7*7 - 15 = 0.
Это упростится до:
2401 + 7z - 49 - 15 = 0.
Таким образом:
7z = -2401 + 49 + 15 = -2337.
z = -2337/7 = -333.
Итак, у нас есть решение системы:
(x, y, z) = (7, -7, -333).
Теперь вычислим значение выражения x_k² + y_k² + z_k³:
x_k² + y_k² + z_k³ = 7² + (-7)² + (-333)³ = 49 + 49 - 36926037 = -36925939.
Так как у нас только одно решение, оно и будет минимальным. Ответ:
-36925939