Вопрос: Если сумма a и b равна 135, а наибольший общий делитель a и b равен 9, какое минимальное значение может иметь произведение a·b?

• A) 1034
• B) 1134
• C) 1215
• D) 1436
• E) 1532

Математика 11 класс Уравнения с двумя переменными и наименьшее произведение математика 11 класс сумма a и b наибольший общий делитель произведение a·b минимальное значение произведения Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть два числа a и b, сумма которых равна 135, а наибольший общий делитель (НОД) этих чисел равен 9. Это значит, что a и b можно представить в виде:

• a = 9m
• b = 9n

где m и n - целые числа, которые не имеют общих делителей (то есть НОД(m, n) = 1).

Теперь подставим a и b в уравнение суммы:

1. 9m + 9n = 135
2. 9(m + n) = 135
3. m + n = 15

Теперь нам нужно найти произведение a·b:

• a·b = (9m)(9n) = 81mn.

Задача сводится к минимизации произведения mn при условии, что m + n = 15 и НОД(m, n) = 1.

Для этого мы можем выразить n через m:

• n = 15 - m.

Теперь подставим n в произведение:

• mn = m(15 - m) = 15m - m².

Это выражение является параболой, которая достигает максимума, когда m = 15/2 = 7.5. Поскольку m и n должны быть целыми числами, мы рассмотрим целые значения m от 1 до 14.

Нам нужно выбрать такие m и n, которые дают минимальное произведение mn и удовлетворяют условию НОД(m, n) = 1. Проверим возможные пары:

• m = 1, n = 14: NOD(1, 14) = 1, mn = 1 * 14 = 14
• m = 2, n = 13: NOD(2, 13) = 1, mn = 2 * 13 = 26
• m = 3, n = 12: NOD(3, 12) = 3, не подходит
• m = 4, n = 11: NOD(4, 11) = 1, mn = 4 * 11 = 44
• m = 5, n = 10: NOD(5, 10) = 5, не подходит
• m = 6, n = 9: NOD(6, 9) = 3, не подходит
• m = 7, n = 8: NOD(7, 8) = 1, mn = 7 * 8 = 56

Из всех допустимых пар (m, n) минимальное значение mn = 14 при m = 1 и n = 14. Теперь подставим это значение в формулу для произведения a·b:

• a·b = 81mn = 81 * 14 = 1134.

Таким образом, минимальное значение произведения a·b равно 1134. Ответ: B) 1134.